Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

7. Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен

План:

1. Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен

2. Інтегрування раціональних функцій

3. Схема інтегрування раціонального дробу

Розглянемо окремі типи інтегралів

1) Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Нехай Інтегрування <center>







</center>виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних (якщо Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, то за знак інтеграла можна винести множник Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних). Виділимо у знаменнику повний квадрат:

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

Поклавши Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, отримаємо Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, тобто інтеграл звівся до табличного.

2) Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Виконаємо тотожні перетворення підінтегральної функції: утворимо в чисельнику похідну знаменника, тобто,

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональнихОскільки

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, тоді

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

3) Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

За допомогою тотожних перетворень, розглянутих в пункті (1), інтеграл зводиться до табличного вигляду Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних або Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

4) Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

За допомогою тотожних перетворень, розглятутих в пункті (2), отримаємо

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Знайдемо

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

Таким чином,

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Інтегрування раціональних функцій

Означення. Раціональним дробом (раціональною функцією) називається вираз вигляду Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, де Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних – многочлен степеня m, Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних – многочлен степеня n, Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональнихІнтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

Якщо Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, то дріб Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних називається Правильним, якщо Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональнихНеправильним.

Якщо дріб неправильний, то виконавши ділення многочленів його можна представити у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дорбу.

Кожний правильний раціональний дріб Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних можна подати як суму елементарних дробів вигляду

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Де Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, а тричлен Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних не має дійсних коренів, тобто Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

Знайдемо інтеграли від елементарних дробів перших трьох типів

1) Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

2)Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

3) Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.Цей інтеграл знаходиться аналогічно Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних розглянутому на ипопередній лекції.

Схема інтегрування раціонального дробу

1) Якщо дріб неправильний, то виконавши ділення многочленів його потрібно представити у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, де Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних– правильний раціональний дріб.

2) Правильний раціональний дріб розкласти на елементарні дроби, для цього необхідно знайти корені знаменника: Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних. Розглянемо випадок Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних. Можливі випадки:

– корені знаменника дійсні та різні, тобто Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, тоді

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних;

–  корені знаменника дійсні і деякі з них кратні. Нехай Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних–прості корені, Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних– корінь кратності Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, …Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних– корінь кратності Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

– серед коренів знаменника є комплексні числа, тоді в розкладі раціонального  дробу  елементарний дріб Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональнихВідповідає двом комплексно-спряженим числам.

Зауваження.  Невідомі сталі Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних знаходять методом невизначенних коефіцієнтів.

Приклад. Знайти Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

Підінтегральна функція Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних є правильний дріб, знаменник має один дійсний корінь Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, та комплексні корені, оскільки Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних, тоді

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних,

Виконаємо додавання  і отримаємо

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

Щоб існувала рівність двох дробів з однаковими знаменниками, необхідно щоб рівними були чисельникі. Чисельники є многочленами, які будуть рівні, якщо рівні коефіцієнти при однакових степенях x. Це приводить до такої системи рівнянь з невідомими Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Розв’язуємо цю систему і одержуємо Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних.

Таким чином, Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Звідки,

Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональнихІнтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних

Реферати

Ви прочитали: "Інтегрування виразів, що містять квадратний трехчлен. інтегрування раціональних"
Читати далі

5% знижка
Призу не буде.
Наступного разу
Майже!
10% знижка
Безкоштовна електронна книга
Призу
Сьогодні не пощастило.
Майже!
15% знижка
Призу не буде.
Не пощастило.
Отримайте свій шанс виграти!
Безкоштвно покрутіть колесо. Це ваш шанс виграти чудові знижки!
Наші внутрішні правила:
  • Одна гра на одного користувача
  • Шахраї будуть дискваліфіковані.
Прокрутити вгору