7. Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен

План:

1. Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен

2. Інтегрування раціональних функцій

3. Схема інтегрування раціонального дробу

Розглянемо окремі типи інтегралів

1)

Нехай  (якщо , то за знак інтеграла можна винести множник ). Виділимо у знаменнику повний квадрат:

.

Поклавши , отримаємо , тобто інтеграл звівся до табличного.

2)

Виконаємо тотожні перетворення підінтегральної функції: утворимо в чисельнику похідну знаменника, тобто,

Оскільки

, тоді

3) .

За допомогою тотожних перетворень, розглянутих в пункті (1), інтеграл зводиться до табличного вигляду  або .

4)

За допомогою тотожних перетворень, розглятутих в пункті (2), отримаємо

Знайдемо

.

Таким чином,

Інтегрування раціональних функцій

Означення. Раціональним дробом (раціональною функцією) називається вираз вигляду , де  — многочлен степеня m,  — многочлен степеня n, .

Якщо , то дріб  називається Правильним, якщо – Неправильним.

Якщо дріб неправильний, то виконавши ділення многочленів його можна представити у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дорбу.

Кожний правильний раціональний дріб  можна подати як суму елементарних дробів вигляду

Де , а тричлен  не має дійсних коренів, тобто .

Знайдемо інтеграли від елементарних дробів перших трьох типів

1)

2).

3) .Цей інтеграл знаходиться аналогічно  розглянутому на ипопередній лекції.

Схема інтегрування раціонального дробу

1) Якщо дріб неправильний, то виконавши ділення многочленів його потрібно представити у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу

, де – правильний раціональний дріб.

2) Правильний раціональний дріб розкласти на елементарні дроби, для цього необхідно знайти корені знаменника: . Розглянемо випадок . Можливі випадки:

– корені знаменника дійсні та різні, тобто , тоді

;

–  корені знаменника дійсні і деякі з них кратні. Нехай –прості корені, – корінь кратності , …– корінь кратності

– серед коренів знаменника є комплексні числа, тоді в розкладі раціонального  дробу  елементарний дріб Відповідає двом комплексно-спряженим числам.

Зауваження.  Невідомі сталі  знаходять методом невизначенних коефіцієнтів.

Приклад. Знайти .

Підінтегральна функція  є правильний дріб, знаменник має один дійсний корінь , та комплексні корені, оскільки , тоді

,

Виконаємо додавання  і отримаємо

.

Щоб існувала рівність двох дробів з однаковими знаменниками, необхідно щоб рівними були чисельникі. Чисельники є многочленами, які будуть рівні, якщо рівні коефіцієнти при однакових степенях x. Це приводить до такої системи рівнянь з невідомими

Розв’язуємо цю систему і одержуємо .

Таким чином,

Звідки,

Реферати

• невизначений інтеграл