Модуль ІІІ. Інтегральне числення функцій однієї змінної (Невизначений інтеграл).

Властивості невизначеного інтеграла. Дробово-раціональні функції: правильні дроби; елементарні дроби.

В курсі матики крім многочленів вивчаються і використовуються також дробово-раціональні функції, які називаються раціональними дробами.

Раціональним дробом називають вираз визначений інтеграл" class="" />, де f(x) і g(x) – многочлени, причому .

Ми будемо розглядати раціональні дроби, у яких чисельник і знаменник є многочленами з дійсними коефіцієнтами. Множину таких дробів позначимо R(x).

Над раціональними дробами виконуються дії додавання і множення за такими правилами:

(1)

(2)

З рівностей (1), (2) випливає, що сума й добуток раціональних дробів з множини R(x) визначаються однозначно і належать до цієї множини. Крім того ці операції асоціативні, комутативні, пов’язані дистрибутивним законом, число 0 є нейтральним елементом по додаванню, а число 1 – по множенню.

Дріб є протилежним до дробу , а дріб , якщо , є оберненим до дробу .

Дріб називається правильним, якщо ст. f < ст. g.

Теорема. Сума правильних раціональних дробів є правильним дробом, а будь-який неправильний дріб є сумою многочлена і правильного дробу.

Розглянемо приклади.

1. .

2. .

Дріб виду , де p(x) – многочлен, незвідний над полем дійсних чисел, і ст. f < ст. p, k – довільне натуральне число, називається елементарним дробом.

Розглянемо приклади.

1. раціональний дріб є елементарним, бо многочлен незвідний і дріб правильний.

2. Раціональний дріб не є елементарним, бо знаменник не є незвідним многочленом.

3. Раціональний дріб не є елементарним, бо він неправильний.

Однією з основних задач теорії раціональних дробів є задача подання дробу у вигляді суми деякого многочлена та елементарних дробів. Ця задача розв’язується позитивно на основі наступних теорем.

Теорема. якщо g1(x) і g2(x) – взаємно прості многочлени і – правильний раціональний дріб, то існують такі многочлени f1(x) і f2(x), що

Причому дроби в правій частині цієї рівності правильні.

Наприклад, .

Ця теорема узагальнюється на випадок довільного скінченного числа взаємно простих множників у знаменнику.

Теорема. будь-який правильний дріб виду , де p(x) – незвідний многочлен, а k – довільне натуральне число, можна подати як суму елементарних дробів:

З використанням попередніх теорем доводиться наступна теорема.

Теорема (основна теорема теорії раціональних дробів). Будь-який правильний дріб можна подати як суму елементарних дробів:якщо , то

. (3)

З наведених теорем випливає, що будь-який неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена та елементарних дробів.

Приклад. Подати раціональний дріб

Сумою многочлена та елементарних дробів.

Розв’язання. Оскільки степінь чисельника дробу більше степеня знаменника, то заданий дріб неправильний. Поділимо чисельник на знаменник:

Отже, . Розкладемо знаменник дробу на множники:

Запишемо дріб у вигляді суми елементарних дробів з невизначеними коефіцієнтами чисельників .

Тепер задача полягає в тому, щоб знайти невідомі коефіцієнти A, B і C.

Для цього зводимо праву частину до спільного знаменника та прирівнюємо чисельники лівої і правої частини. одержимо:

Звідси . Виходячи з означення рівності многочленів, маємо:

. Звідси

Таким чином, .

Означення подвійного інтеграла

Нехай у обмеженій квадровній області D задана функція . Сіткою (T) кривих довільно розіб’ємо область D на квадровні частини , . Позначимо

, , .

У кожній частині довільно візьмемо по одній точці , і складемо суму

(1)

Яку називають інтегральною. Вона залежить від (T) – розбиття області D на частини і від вибору точок .

Означення. Число I називається границею інтегральних сум (1) при , якщо для довільного числа існує таке число , що для довільного (T) – розбиття області D на частини , І довільного вибору точок , , з умови випливає нерівність .

При цьому число I називають подвійним інтегралом функції по області D і позначають символом або .

Таким чином, за означенням

(2)

Якщо означення зіставити із задачею про масу неоднорідної пластинки, то отримаємо формулу

(3)

Яка розкриває фізичний зміст подвійного інтеграла.

Якщо означення зіставити із задачею про об’єм циліндричного тіла, то отримаємо формулу

(4)

Яка розкриває геометричний зміст подвійного інтеграла.

Теорема. Якщо функція неперервна в обмеженій квадровній області D, то подвійний інтеграл існує.

Теорему приймаємо без доведення.

Властивості подвійного інтеграла

Основні властивості подвійного інтеграла аналогічні властивостям визначеного інтеграла:

1º.

2º.

3º.

4º.

5º. Якщо і області і не мають спільних внутрішніх точок (вони мають лише спільну межу), то (адитивна властивість ).

6º. Якщо функція неперервна в області D, то існує точка така, що (теорема про середнє значення).

В рівностях 3º, 4º, 5º вважають, що подвійні інтеграли функцій , по вказаних областях існують.

Доведемо, наприклад, властивість 3º. Маємо

При доведенні використані означення подвійного інтеграла і той факт, що сталий множник можна виносити за знак суми і за знак границі.

З властивості 3º при отримуємо рівність 1º, а при і в (D) отримуємо рівність 2º.

Рівність 5º, виходячи з фізичного змісту подвійного інтеграла означає наступне: якщо пластинка D є об’єднанням пластинок і (рис.1), то, очевидно, маса пластинки D дорівнює сумі мас пластинок і .

Теорему про середнє значення приймаємо без доведення.

§2. Обчислення подвійного інтеграла

Обчислення подвійного інтеграла у декартових координатах

Теорема. Нехай функція неперервна в області D, обмеженій лініями , причому функції і неперервні на відрізку [a; b] і для довільного . Тоді має місце формула

(5)

Формула (5) показує, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів. Інтеграл справа у формулі (5) називається повторним, причому інтеграл по змінній y називається внутрішнім, а по змінній x – зовнішнім.

Аналітичне доведення формули (5) дещо громіздке, тому наведемо тут міркування, що випливають з фізичного змісту подвійного інтеграла. Будемо вважати, що функція невід’ємна в області D і є поверхневою густиною пластинки D.

Виділимо смугу області D між вертикалями x і (рис.2). маса цієї смуги (вона заштрихована на рис.), очевидно, дорівнює . Тоді маса всієї пластинки D буде дорівнювати , звідки за фізичним змістом подвійного інтеграла і випливає формула (5).

Приклад. Обчислити , якщо область D обмежена лініями і (рис.3).

Розв’язання. Задані лінії перетинаються в двох точках: O(0, 0) і A(1, 1). Тому за формулою (5) маємо:

У випадку області D, обмеженої лініями , причому функції і неперервні на відрізку [c; d] і для довільного (рис.4), має місце формула

Геометричні застосування подвійних інтегралів

Проілюструємо на конкретних прикладах застосування формул обчислення площ плоских фігур і об’ємів циліндричних тіл за допомогою подвійних інтегралів:

(6)

Приклад. Обчислити об’єм кулі радіуса R.

Розв’язання. Запишемо рівняння сфери радіуса R з центром у початку координат: . Тоді буде рівнянням верхньої півсфери і за формулою (6) маємо

Де D – чверть круга радіуса R у першому квадранті.

Для обчислення подвійного інтеграла перейдемо до полярних координат. Тоді

Одержимо

Це відома формула об’єму кулі радіуса R.

Відзначимо формулу для обчислення площі поверхні (рис. 5). якщо функція неперервна разом з частинними похідними і в області D, то площу S поверхні , яка є графіком функції , можна обчислити за формулою