6.. Первісна та невизначений інтеграл. Властивості.
Основні методи інтегрування: інтегрування методом заміни змінної та частинами.
План:
1. Первісна та невизначений інтеграл.
2. Властивості.
3. Основні методи інтегрування: інтегрування методом заміни змінної.
4. Інтегрування частинами.
§1. первісна функція
У диференціальному численні функції однієї змінної за заданою функцією src="https://1snau.com/wp-content/uploads/vm/lek3/6001.gif" alt="Невизначений інтеграл" title="Невизначений інтеграл" class=""> відшукувалась її похідна . Можна поставити обернену задачу: відомо, що функція є похідною деякої функції , тобто . Як знайти всі такі функції ?
Наприклад, якщо , то за можна взяти кожну з функцій і, взагалі, , де С – довільна стала, оскільки
Зауваження. Числові проміжки скрізь у подальшому позначаються спільним символом .
Означення. Нехай функція задана на проміжку . Тоді функція називається первісною функції , якщо диференційована на і Для всіх .
Наприклад, функції , де , а C – довільна стала, є первісними для функції , оскільки для всіх .
Теорема (про множину всіх первісних). Якщо функція є однією з первісних функції на проміжку , то будь-яка інша первісна функції на проміжку має вигляд , де C – довільне дійсне число.
Доведення. Оскільки – первісна, то для кожного . Якщо C – довільне дійсне число, то функція також є первісною для на проміжку , оскільки .
Покажемо, що інших первісних функції на проміжку не існує. Справді, нехай – довільна фіксована первісна функції на проміжку . Розглянемо допоміжну функцію . Для неї . Звідси за теоремою про умови сталості функції , де – деяке дійсне число, і .
Теорему доведено.
Теорема (про існування первісної). Для кожної неперервної на проміжку функції існують первісні на цьому проміжку.
Цю теорему приймаємо без доведення.
§2. Невизначений інтеграл
Означення. Множина всіх первісних функції на проміжку називається невизначеним інтегралом функції і позначається символом .
У цьому позначенні функція називається підінтегральною функцією, а вираз – підінтегральним виразом. Функція при цьому називається інтегрованою на проміжку .
З теореми про множину первісних і означення випливає, що
, (1)
Де – одна з первісних функції на проміжку , а C – довільне дійсне число (довільна стала).
Знаходження невизначеного інтеграла від даної функції називається інтегруванням цієї функції. Інтегрування є операцією, оберненою до диференціювання. Для того, щоб перевірити, чи правильно виконано інтегрування, достатньо продиференціювати первісну і одержати при цьому підінтегральну функцію. Якщо ж похідна від первісної відмінна від підінтегральної функції, то при інтегруванні допущено помилки.
Наприклад, , бо . Аналогічно , бо .
Теорема (основні властивості невизначеного інтеграла). Якщо функції інтегровані на проміжку , то на цьому проміжку справедливі рівності:
1º.
2º. ;
3º. ;
4º. ;
5º. .
Доведення. Будемо вважати, що функції неперервні на проміжку , тому за теоремою про існування первісної всі інтеграли у рівностях 1º – 5º існують.
Перша властивість випливає з того, що , де , а
.
Друга властивість випливає з означення диференціала функції і першої властивості:
.
Ці дві властивості показують, що операції диференціювання та інтегрування функцій є взаємно оберненими.
Третя властивість випливає з того, що і .
Четверта і п’ята властивості випливають з відповідних властивостей похідної:
.
Теорему доведено.
Таблиця основних невизначених інтегралів
З означення похідної, таблиці основних похідних та невизначеного інтеграла випливає таблиця основних невизначених інтегралів.
1º. | 99º. | ||
2º. | 110º. | ||
3º. | 111º. | ||
4º. | 112º. | ||
5º. | 113º. | ||
6º. | 114º. | ||
7º. | 115º. | ||
8º. | 116º. |
Ця таблиця разом з правилами інтегрування лежить в основі всіх методів інтегрування.
Приклад. Знайти .
Розв’язання. Використаємо тотожність , властивість (5º) і табличні інтеграли 9 та 10. Одержимо:
Приклад. знайти .
Розв’язання. Виконаємо штучне перетворення підінтегральної функції:
Тоді
Правильність інтегрування перевіряється диференціюваннямотриманого при інтегруванні результату. Продиференціюємо і одержимо:
.
Одержали підінтегральну функцію. Отже, інтегрування виконано правильно.
У розглянутих прикладах довелося вдатися до штучних перетворень підінтегральної функції, щоб звести задані інтеграли до табличних.
§3. основні методи інтегрування функцій
Основними методами інтегрування функцій є інтегрування частинами і підстановкою (заміною змінної).
3.1. інтегрування частинами
Теорема ( про інтегрування частинами). Якщо функції і неперервні разом із своїми похідними на проміжку , то
. (2)
ДОведення. Формулу (2) називають формулою інтегрування частинами. У ряді випадків інтеграл справа спрощується або стає табличним. Формула (2) випливає з формули диференціювання добутку і властивостей невизначеного інтеграла. неперервність функцій та їх похідних забезпечує існування обох інтегралів у формулі (2). Послідовно маємо:
, .
Звідси, враховуючи, що , отримуємо формулу (2).
Теорему доведено.
Приклад. Знайти , де .
Розв’язання. Позначимо , тоді . Далі за формулою (2) маємо:
.
В ряді випадків формулу (2) застосовують декілька разів. Обчислення інтеграла частинами рекомендуємо оформляти так, як показано у наступному прикладі.
Приклад. Знайти .
Розв’язання.
До інтеграла знову застосуємо формулу (2). Будемо мати:
Звідки , де .
Зауважимо, що загальних рекомендацій щодо вибору і не існує. Вдале розбиття підінтегрального виразу на частини і досягається практикою інтегрування. Якщо вибране розбиття ускладнює інтеграл справа у формулі (2), то треба спробувати інше розбиття або використати інші методи інтегрування. Так, якщо у останньому прикладі взяти , то і ускладнився в порівнянні з даним .
3.2. Інтегрування підстановкою
Теорема (про інтегрування підстановкою). Якщо функція неперервна на проміжку , а функція неперервна разом з похідною на проміжку , причому значення функції належать проміжку , то
. (3)
Доведення. Формула (3) є формулою інтегрування підстановкою. Неперервність функцій забезпечує існування обох інтегралів, а сама формула (3) випливає з формули диференціювання складної функції.
Справді, якщо , то функція буде первісною для функції на проміжку , оскільки
.
Звідси
.
Теорему доведено.
Інтеграл справа у формулі (3) може в результаті вдалої підстановки спроститися або стати табличним.
Приклад. Знайти , де .
Розв’язання. Позначимо , тоді
.
Формулу (3) використовують також, читаючи її справа наліво.
Приклад. Знайти , де .
Розв’язання. Позначимо , тоді
Звідси .
Отримали доведення формули 15 таблиці основних невизначених інтегралів.
Як і у випадку інтегрування частинами, вдалу підстановку підказує практика інтегрування.
Ви прочитали: "Невизначений інтеграл"Читати далі