Глоссарій Вища математика

ГЛОСАРІЙ

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел , де та , яка складається з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

Дві матриці Am×n Вища математика" class="" /> та Bm×n однакових розмірностей називаються Рівними, якщо рівні їхні відповідні елементи:.

Квадратна матриця називається Діагональною, якщо всі її елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Сумою двох матриць Am×n і Bm×n однакових розмірностей називається матриця Cm×n.

Добутком матриці Am×n на матрицю Bn×kНазивається така матриця Cm×k, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i – го рядка матриці A на відповідні елементи j – го стовпця матриці B:

Добутком матриці Am×n на число k називається матриця тієї самої розмірності. Вона позначається kAm×n або Am×n·k. При цьому k називають числовим (скалярним) множником, Am×n – матричним множником.

Нехай задані дійсні числа . Вони визначають дійсне число , яке називається Визначником або детермінантом другого порядку і записується так:

Нехай задані дійсні числа . Вони визначають дійсне число

Яке називається Визначником або детермінантом третього порядку і задається так:

Мінором елемента визначника називається визначник, який утворюється із даного визначника в результаті викреслення i – го рядка та j – го стовпця.

Алгебраїчним доповненням елемента Називається вираз , тобто

Лінійним рівнянням З n невідомими називається рівняння виду

, (5)

Де – невідомі, які входять у це рівняння у першому степені (лінійно), – дані числа, що називаються коефіцієнтами при невідомих, число b називається вільним членом рівняння.

Розв’язком рівняння З n невідомими називається такий впорядкований набір чисел , при підставленні яких у дане рівняння замість невідомих відповідно (тобто замість підставляємо , замість підставляємо і т. д.) воно перетворюється у числову рівність (тотожність):

Розв’язком системи лінійних рівнянь Називається упорядкований набір чисел , якщо при підстановці замість невідомого Числа (i=1, 2, …, n) усі рівняння системи перетворюються в тотожності.

Дві системи лінійних рівнянь називаються Еквівалентними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв’язків

Матриця A-1 називається Оберненою До матриці A, якщо виконується умова

AA-1=A-1A=E.

Квадратна матриця A називається Виродженою, якщо і Невиродженою, якщо .

Рангом матриці A називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Будь-яка впорядкована пара точок A і B простору визначає Напрямлений відрізок або вектор. Першу точку A називають початком вектора, а другу B – кінцем вектора.

Відстань між початком вектора і його кінцем називається Довжиною (модулем) вектора і позначається || або ||.

Вектор, початок і кінець якого збігається, називається Нульовим і позначається .

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці називається Одиничним.

Вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих, називаються Колінеарними.

Два вектори і називаються Рівними, якщо вони співнапрямлені і мають однакову довжину. рівність векторів і записують так: .

Вектори, які лежать в одній площині або в паралельних площинах, називаються Компланарними.

Сумою двох векторів і називається вектор , направлений з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора .

Різницею двох векторів і називається такий вектор , що .

Добутком вектора на число Називається вектор, довжина якого дорівнює ||·|t|, а напрям збігається з напрямом вектора , якщо t>0, і протилежний йому, якщо t<0. Якщо або , то їхній добуток є нульовим вектором.

Нехай задано n векторів і n чисел . Вираз називається Лінійною комбінацією векторів з коефіцієнтами .

Вектори називають Лінійно залежними, якщо існують такі числа , з яких хоча б одне не дорівнює нулю і при цьому справджується рівність

Будь-яка впорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, через які лінійно визначається довільний вектор простору, називається Базисом цього простору.

Максимальне число лінійно незалежних векторів деякого простору називається його Розмірністю.

Скалярним добутком двох векторів і називається дійсне число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними і позначається :

, де .

Векторним добутком вектора і називається вектор , який визначається такими умовами:

1) довжина вектора , де ;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;

3) якщо вектор , то вектори – утворюють праву трійку векторів.

Мішаним добутком упорядкованої трійки векторів називається скалярний добуток векторного добутку і вектора .

Рівняння , називають Рівнянням з двома змінними і Якщо ця рівність виконується не для всіх пар чисел та , і тотожністю, якщо вона справедлива для всіх значень і .

Лінія, яка задана рівнянням відносно деякої системи координат у площині є Геометричним місцем точок, координати яких задовольняють задане рівняння.

Алгебраїчна лінія другого порядку – це множина точок, координати яких задовольняють рівняння виду

Де коефіцієнти – дійсні числа, причому хоча б одне з чисел відмінне від нуля.

Колом називається множина всіх точок площини, відстані яких від заданої точки площини (центра кола) дорівнюють сталому додатному числу (радіусу).

– канонічне рівнянням кола.

Еліпсом називається множина всіх точок площини, сума відстаней яких від двох фіксованих точок площини, які називаються фокусами, є величина стала і більша відстані між фокусами.

, (де ) – канонічне рівняння еліпса.

Гіперболою називається множина всіх точок площини, різниця відстаней яких від двох фіксованих точок площини, які називаються фокусами, є величина стала і менша відстані між фокусами.

, де .

Параболою називається множина всіх дійсних точок площини, відстань яких від фіксованої точки площини, що називається фокусом, дорівнює відстані від фіксованої прямої, яку називають директрисою.

Кажуть, що на множині x задана Функція, якщо за певним правилом (законом) f кожному елементу xÎx поставлено у відповідність один і тільки один елемент yÎy. При цьому елементи xÎx називають значеннями аргумента або незалежною змінною функції, а відповідні їм елементи yÎy – значеннями функції.

Множина EÌR називається Симетричною відносно нуля, якщо разом з кожним числом xÎE число також належить E.

Функція f(x), xÎE називається Парною, якщо множина E симетрична відносно нуля і для будь-якого xÎE.

Функція f(x), xÎE називається Непарною, якщо множина E симетрична відносно нуля і для будь-якого xÎE.

Функція f(x), xÎE називається Періодичною, якщо існує таке число T¹0 (воно називається періодом функції), що для будь-якого числа xÎE числа (x) і при цьому виконуються рівності .

Функція f(x), xÎE називається Обмеженою, якщо існує таке число M>0, що Для всіх чисел xÎE.

Функція f(x), xÎE називається Необмеженою, якщо для довільного числа M>0 існує таке число x0ÎE, що .

Функція f(x), xÎE називається Зростаючою (спадною), якщо для довільних x1ÎE, x2ÎE з умови випливає .

Функція f(x), xÎE називається Неспадною (незростаючою), якщо для довільних чисел x1ÎE, x2ÎE з умови випливає .

Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні функції називаються Монотонними.

Дійсне число a називається Границею послідовності , якщо для довільного дійсного додатного числа існує такий номер (взагалі, залежний від , тобто ), що для всіх номерів n, більших , виконується нерівність .

Послідовність, яка має границю, називається Збіжною. Послідовність, яка не має границі, називається Розбіжною.

Послідовність, границя якої дорівнює нулю, називається Нескінченно малою або нульовою послідовністю.

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки . Число називається Границею функції f(x) в точці , якщо для довільного існує таке число , що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Нехай функція f(x) визначена на проміжку . Число називається Границею функції f(x) при , якщо для довільного дійсного числа існує таке дійсне число , що для всіх чисел виконується нерівність .

Нехай функція y=f(x) визначена на проміжку . Пряма y=kx+b називається Асимптотою графіка функції y=f(x)при , якщо

Функція f(x) називається Неперервною в точці , якщо .

Точка називається Усувною точкою розриву функції f(x), якщо виконані лише перша і друга умови або лише друга умова попереднього означення.

Точка називається Точкою розриву першого роду функції f(x), якщо в цій точці функція f(x) має різні скінченні односторонні границі.

Точка називається Точкою розриву другого роду функції f(x), якщо в цій точці хоча б одна з її односторонніх границь не існує або є нескінченною.

Функція f(x) називається Неперервною в точці , якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

Функція f(x) називається Неперервною на проміжку <a; b>, якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Похідною функції в точці x називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргумента , коли приріст аргумента прямує до нуля.

Функція називається Диференційовною в точці , якщо в цій точці вона має похідну.

Функція називається Диференційовною на проміжку, якщо вона диференцiйовна в кожній точці цього проміжку.

Пряма, яка перпендикулярна до дотичної і проходить через точку дотику, називається Нормаллю До кривої.

Нехай функція диференційовна в точці x. Тоді лінійна відносно частина приросту функції називається Диференціалом функції у точці x.

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Кажуть, що вона має в точці Локальний максимум (локальний мінімум), якщо в цьому околі.

Крива називається Опуклою (вгнутою) в точці , якщо в деякому околі цієї точки крива розташована нижче (вище) дотичної, проведеної в точці .

Точка називається Точкою перегину кривої , якщо з однієї сторони від точки (в достатньо малому її околі) крива опукла, а з другої сторони – вгнута.

Лінією рівня функції називають лінію у площині XOY, задану рівнянням .

Поверхнею рівня функції називають поверхню, задану рівнянням .

Дійсне число A називається Границею функції у точці , якщо для довільного числа існує таке число , що для всіх точок , відмінних від точки , і таких, що віддаль , виконується нерівність .

Функція називається Неперервною в точці , якщо .

Нехай задана функція . Частинною похідною функції по змінній , де k – натуральне число і , називається звичайна похідна функції u по змінній при умові, що решта змінних вважаються сталими.

Функція називається Диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді

(5)

Де числа і від приростів і не залежать (взагалі, вони залежать від точки ), а функції і є нескінченно малими при і .

Сума є лінійною відносно приростів і частиною повного приросту . Її називають Повним диференціалом функції і позначають символом .

Кажуть, що функція має в точці Локальний максимум (мінімум), якщо існує окіл точки , у якому для кожної точки виконується нерівність , тобто приріст Зберігає знак у деякому околі точки .

Точка , у якій частинні похідні і дорівнюють нулю або не існують, називається Критичною (або стаціонарною) точкою функції .

Нехай функція задана на проміжку . Тоді функція називається Первісною функції , якщо диференційована на і Для всіх .

Множина всіх первісних функції на проміжку називається Невизначеним інтегралом функції і позначається символом .

Раціональним дробом (раціональною функцією)Називається вираз вигляду , де – многочлен степеня m, – многочлен степеня n, .

Нехай функція неперервна і невід’ємна на відрізку [a; b]. Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком [a; b] і прямими , називається Криволінійною трапецією.

Нехай функція задана на відрізку [a; b]. Точками довільно розіб’ємо відрізок [a;b] на частини . Позначимо . На кожномувідрізку довільно візьмемо по одній точці і утворимо суму Якщо при існує границя сум S(T), яка не залежить від способу розбиття (T) і вибору точок , то цю границю називають Визначеним інтегралом функції на відрізку [a; b]і позначають символом .

Таким чином, .

Число I називається Границею інтегральних сум При , якщо для довільного числа існує таке число , що для довільного (T) – розбиття області D на частини , І довільного вибору точок , , з умови випливає нерівність .