ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАВДАНЬ
ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ
З ВИЩОЇ МАТИКИ
(I Семестр)
Задача № 1.
Задані дві матриці А і В.
Знайти: А) добуток матриць АВ;
Б) визначник матриці А.
à) А= 
для самостійноі роботи студентів" />; B=
.
Розв’язування.
Добуток матриць АВ можливий у випадку, коли число стовпчиків матриці А дорівнює числу рядків матриці В. Елементи матриці С=АВ обчислюються за формулою:
Сij=ai1×b1j + ai2×b2j + … + aik×bkj
Б) Обчислимо визначник матриці А detA =D= 
За формулою
DetA=
де Аij=(-1)i + jMij,
Mij – додатковий мінор елемента aij матриці А. Перш, ніж розкладати визначник по елементах третього рядка або четвертого стовпчика, де найбільше нулів, утворимо методом лінійних перетворень ще один нуль. Для цього перший стовпчик додамо до другого в результаті отримаємо:
D= 
=(-1)· (-1)3+1 
Одержаний визначник третього порядку можна обчислити за правилом трикутника, або зведенням його до визначника другого порядку, віднявши від першого рядка другий:
Задача № 2. Дану систему лінійних рівнянь: 
Розв’язати трьома способами:
1) за формулами Крамера;
2) методом Гаусса або Жордана-Гаусса;
3) матричним методом.
Результат перевірити.
Задача № 1. Дану систему лінійних рівнянь: 
розв’язати трьома способами:
1) за формулами Крамера; 2) методом Гаусса або Жордана-Гаусса; 3) Матричним методом.
Результат перевірити.
Розв’язання.
1) Обчислимо основний визначник системи лінійних рівнянь ∆, та визначники ∆x, ∆y, ∆z, які отримуються з основного визначника заміною відповідно, першого, другого або третього стовпчика, стовпчиком вільних членів :
, 
, 
Тоді за формулами Крамера обчислимо:
.
Перевірка. Знайдені значення 
підставимо в систему:
Оскільки отримали вірні числові рівності, то робимо висновок, що сис розв’язана правильно.
Відповідь: сис має один розв’язок: 
.
2) Розв’язуючи систему методом Гауса (методом виключення невідомих) з першого рівняння знайдемо 
і підставимо його в друге і третє рівняння:
.
Цей результат можна отримати й інакше: помножити перше рівняння системи на число 
, а потім на 
, і додати відповідно до другого, а потім до третього, рівнянь системи.
Після цього помножимо друге рівняння останньої системи на 
і результат додамо до третього рівняння:
.
З останньої системи послідовно знаходимо:
, тобто отримали той же результат.
Випишемо розширену матрицю системи і шляхом елементарних перетворень рядків матриці зведемо її до діагонального вигляду:
~ 
~ 
~
|
~ 
~ 
~ 
~
|
~ 
~ 
~ 
.
З останньої матриці Жордана-Гауса безпосередньо запишемо розв’язок системи: 
.
3) Розв’язуючи систему матричним, випишемо матриці:
А= 
; Х=
; В=
. запиемо матричне рівняння AX=B, звідси X=A-1B
Тепер потрібно знайти обернену матрицю А-1, але спочатку знайдемо визначник матриці А:
, далі будемо знаходити алгебраїчні доповнення елементів:
А11=
=-11; А12=-
=7; А13=
=5; А21=-
=6; А22=
=-2; А23=-
=-10;
А31=
=-7; А32=-
=-1; А33=
=5. запишемо обернену матрицю
А-1=
. Тепер знайдемо матрицю Х:
Х=
. Тобто x=0, y=-1, z=2
Задача № 3. Задані координати точок A, B, C, P, Q: 
. Знайти:
1) довжини сторін ∆ ABC;
2) внутрішні кути ∆ ABC в градусах;
3) площу ∆ ABC;
4) довжину висоти, опущеної з вершини A на сторону BC;
5) центр мас ∆ ABC;
6) рівняння площини, в якій лежить ∆ ABC;
7) рівняння прямої PQ, та точку перетину прямої PQ з площиною ∆ ABC;
8) віддалі точок P і Q від площини ∆ ABC;
9) об’єм піраміди PABC.
Розв’язання.
1) Для знаходження довжин сторін ∆ ABC використаємо формулу віддалі між двома точками 
і 
: 
.
,
,
.
Оскільки 
, то ∆ ABC – гострокутний.
2) Для знаходження внутрішніх кутів ∆ ABC використаємо формулу: 
.
Оскільки 
, то ∆ ABC – рівнобедрений, тому досить знайти кут 
, тобто кут між векторами 
і 
. Для цього запишемо вектори і в системі орт 
: 
, 
.
Тоді 
, звідки за таблицями В. М.Брадіса знаходимо, що
.
3) Для знаходження площі ∆ ABC використаємо формулу: 
.
Обчислимо векторний добуток 
:
,
. 
.
Цей же результат можна отримати й іншим способом, за формулою:
;
,
.
4) Для знаходження довжини висоти 
, опущеної з вершини на сторону 
використаємо формулу площі трикутника: 
;
, 
.
5) Центр мас ∆ ABC лежить на перетині його медіан 
.
,
, 
,
,
.
Запишемо рівняння прямих :
Знайдемо точку 
перетину прямих 
і 
. Для цього розв’яжемо систему: 
.
Перейдемо до параметричних рівнянь цих прямих:
(з другого рівняння),
Тоді з першого рівняння 
,
Як і з другого 
.
Таким чином координати шуканої точки 
.
Переконаємось, що знайдена точка 
лежить на третій прямій 
.
Відношенню 
можна приписати будь-яке значення, зокрема й 
. Отже точка лежить на прямій 
і є центром мас ∆ ABC.
6) Для запису рівняння площини, в якій лежить ∆ ABC, використаємо рівняння площини, що проходить через три точки , , 
: 
.
У нас такими точками будуть 
, 
, 
:
, 
,
.
Переконаємося, що точка лежить у площині ∆ ABC:
. Цей факт підтверджує, що рівняння площини ∆ ABC знайдено вірно.
7) Рівняння прямої 
запишемо, використавши рівняння прямої, що проходить через дві точки 
і 
:
.
Для знаходження точки перетину прямої з площиною ∆ ABC розв’яжемо систему: 
.
Запишемо параметричні рівняння прямої :
і підставимо їх у рівняння площини:
.
Таким чином, точка 
перетину прямої з площиною ∆ ABC має координати 
. Перевіримо цей факт:
, 
.
Бачимо, що координати точки задовольняють рівняння площини
∆ ABC і рівняння прямої , тобто, справді, це точка їх перетину.
8) Для знаходження віддалей точок 
від площини ∆ ABC використаємо формулу віддалі точки 
від площини 
: 
.
Для точки 
маємо : 
Для точки 
маємо : 
9) Для обчислення об’єму піраміди PABC використаємо формулу:
, де 
, тому
.
Цей же результат отримаємо, використавши формулу 
.
Маємо 
,
, 
.
Задача № 4. Знайти границі функцій, не користуючись правилом Лопіталя:
а) 
; б) 
; в) 
.
Розв’язання. А) Маємо невизначеність вигляду 
. Перетворимо дану функцію, розклавши чисельник та знаменник на множники : 
Тоді, 
.
Б) Маємо невизначеність вигляду 
. Перетворимо дану функцію, розділивши чисельник та знаменник на 
:
.
В) Знову маємо невизначеність вигляду 
. У цьому випадку необхідно чисельник та знаменник дробу помножити на вираз, спряжений чисельнику.
.
Задача № 5. Знайти границі функцій, застосовуючи чудові границі.
а) 
; Б) 
.
Розв’язання. А) Безпосередня підстановка 
приводить до невизначеності 
, чисельник дробу містить тригонометричну функцію, тому для розкриття невизначеності застосовуємо 1-шу важливу границю, а саме :
.
. Щоб можна було застосувати 1-шу важливу границю, помножимо чисельник та знаменник дробу на 5, тоді отримаємо:
Враховуючи, що 
=1, отримаємо:
.
Б) В цьому випадку маємо невизначеність 
. Для розкриття цієї невизначеності використовуємо 2-гу важливу границю, а саме виконаємо наступні тотожні перетворення: 
.
Введемо позначення: 
, якщо 
, тоді 
. Таким чином, маємо:
Враховуючи, що 
та 
, отримаємо:
.
Задача № 6. Дослідити функцію на неперервність, встановлюючи характер точок розриву, та побудувати її графік.
Розв’язання. Функція задана різними формулами на різних проміжках. На кожному з проміжків 
; 
вона як елементарна – неперервна. Отже розрив може бути лише в точках 
та 
.
Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:
, 
, 
.
Отже, односторонні границі функції в цій точці існують, рівні між собою та дорівнюють значенню функції в цій точці, звідки випливає, що функція – неперервна в точці 
.
Знайдемо односторонні границі функції в цій точці :
, 
.
Отже, односторонні границі функції в цій точці існують, але не рівні між собою, таким чином, функція 
розривна в точці 
, яка є точкою розриву 1- го роду.
Побудуємо графік функції
Задача № 7. Дослідити на неперервність функції у точках 
та побудувати їх графіки (Схематично).
Розв’язання. 
; 
, отже, функція 
є неперервною в точці 
.
У самій точці функція, по-перше, не визначена, а по-друге 
. Згідно з класифікацією розривів, точка 
є точкою розриву 2-го роду.
Побудуємо графік функції
Задача № 8. Знайти похідні функцій
а) 
; б) 
; в) 
.
Розв’язання. А) Подамо функцію у вигляді: 
.
Користуючись правилом обчислення похідної суми, а також формулою диференціювання 
, отримаємо
Б) Використовуючи правило обчислення похідної добутку: (
) та формулу диференціювання складної функції, отримаємо:
В) Користуючись формулою диференціювання складної функції, маємо
Задача № 9. Дослідити функцію методами диференціального числення та побудувати її графік.
Розв’язання.
1) Функція задана формулою, в якій вираз справа має зміст для всіх 
, тому 
.
2) Оскільки область існування 
не симетрична відносно нуля, то дана функція є функцією загального виду.
3) Дана функція неперервна в своїй області існування, як частка двох неперервних функцій 
. Оскільки при 
вона не визначена, то точка 
є її точкою розриву. Для встановлення характеру розриву обчислимо границі функції в точці 
зліва і справа: 
, 
. Звідси випливає, що точка 
є точкою розриву функції другого роду, а пряма є вертикальною асимптотою її графіка.
4) Для знаходження проміжків монотонності функції обчислимо її похідну:
, 
,
Звідки знаходимо 
.
Функція зростає на інтервалі 
, якщо 
, і спадає, якщо 
. Розв’яжемо нерівності 
і 
методом інтервалів.
 |
Бачимо, що на інтервалі 
похідна додатна, отже функція на цьому інтервалі зростає, на інтервалах 
і 
похідна від’ємна, тому функція на кожному з цих інтервалів спадає, на інтервалі 
похідна знову додатна, а тому функція на цьому інтервалі зростає.
Одночасно визначилися і точки екстремуму: в точці 
функція має максимум, а в точці 
вона має мінімум, причому 
, 
.
5) Для знаходження проміжків угнутості та опуклості графіка функції обчислимо другу похідну: 
.
Бачимо, що 
, тому точок перегину графіка функції немає. 
і 
, тому в інтервалі 
графік функції опуклий, а в інтервалі 
– угнутий.
6) Для знаходження горизонтальних асимптот графіка функції обчислимо 
: 
, отже, горизонтальних асимптот графік функції не має.
Для знаходження похилих асимптот 
обчислимо границі 
і 
:
,
.
Отже пряма 
є похилою асимптотою графіка функції.
7) Для знаходження точок перетину графіка функції з осями координат необхідно розв’язати системи: 
, 
.
Розв’язок першої системи дає точки перетину графіка функції з віссю 
, другої – з віссю 
. Маємо 
, а рівняння 
не має розв’язків. Отже, графік функції перетинає лише вісь 
у точці 
.
За одержаними даними схематично зобразимо графік функції 
:
Задача № 10. Обчислити невизначені інтеграли. а) 
б) 
.
Результати перевірити.
Розв’язання.
А) Використаємо підстановку 
, тоді 
,
.
Перевірка: 
.
Отримали підінтегральну функцію, отже, інтеграл обчислений вірно.
Б) Обчислимо даний інтеграл методом інтегрування частинами:
, тоді 
,
,
Останній інтеграл обчислимо, виділивши цілу частину: 
, 
.
Таким чином 
.
Перевірка: 
.
Інтеграл обчислений вірно.
Задача 11. Обчислити визначені інтеграли:
.
Розв’язання.
Задача 12. Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями:
Розв’язання Побудуємо фігуру, площу якої треба обчислити.
– парабола, вітки якої направлені вниз; вершина параболи співпадає з початком координат; 
– абсциси точок перетину параболи з віссю Ох; 
– пряма лінія. Необхідно обчислити площу заштрихованої фігури. Використаємо формулу 
Для того, щоб знайти межі інтегрування, розв’яжемо систему рівнянь:
Звідси 
Отже, межі інтегрування такі: 
Знаходимо площу фігури: 
(кв. одиниць).
Читати далі