9. Подвійні інтеграли. Обчислення та застосування.

Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.

План:

1. Задачі, що приводять до подвійного інтеграла.

2. Подвійні інтеграли. Обчислення та застосування.

3. Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.

Задачі, що приводять до подвійного інтеграла.

Задача про масу неоднорідної пластинки

Нехай D – неоднорідна пластинка і src="https://1snau.com/wp-content/uploads/vm/lek5/9001.gif" alt="Подвійний інтеграл його обчислення та застосування" title="Подвійний інтеграл його обчислення та застосування" class=""/> – її поверхнева густина. Треба знайти масу m(D) цієї пластинки (рис. 1).

Для однорідної пластинки, тобто коли , маса , де S – площа пластинки D.

У випадку неоднорідності будемо вважати функцію неперервною в області D. Тоді для обчислення маси m(D) природно вчинити так. Сіткою кривих розіб’ємо область D на квадровні (такі, що мають площу) частини . Позначимо При цьому під діаметром області розуміють довжину найбільшої з хорд , а хордою називають відрізок, який сполучає дві довільні точки контура (або межі) .

В кожній частині , , довільно візьмемо по одній точці і будемо вважати, що частина однорідна і її густина скрізь дорівнює . Таке припущення виправдане неперервністю функції в області D. Тому для достатньо малих густина мало змінюється в межах і можна вважати, що вона в стала і дорівнює . Тоді

І за масу m пластинки D природно взяти число

, (1)

Якщо ця границя існує.

До обчислення границь (1) приводять багато інших задач. наприклад, задача про об’єм циліндричного тіла, обмеженого знизу квадровною областю D площини XOY, зверху – графіком неперервної невід’ємної функції , , збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а напрямною є межа (контур) області D. Циліндричне тіло є просторовим аналогом криволінійної трапеції і його об’єм V визначається рівністю

, (2)

Де числа , точка , , мають той же зміст, що і в попередній задачі.

Границі виду (2) часто зустрічаються на практиці при застосуваннях матичного аналізу. Тому їх певним чином позначають і детально вивчають.

Означення подвійного інтеграла

Нехай у обмеженій квадровній області D задана функція . Сіткою (T) кривих довільно розіб’ємо область D на квадровні частини , . Позначимо

, , .

У кожній частині довільно візьмемо по одній точці , і складемо суму

(3)

Яку називають інтегральною. Вона залежить від (T) – розбиття області D на частини і від вибору точок .

Означення 1. Число I називається границею інтегральних сум (3) при , якщо для довільного числа існує таке число , що для довільного (T) – розбиття області D на частини , І довільного вибору точок , , з умови випливає нерівність .

При цьому число I називають подвійним інтегралом функції по області D і позначають символом або .

Таким чином, за означенням 1

(4)

Якщо означення 1 зіставити із задачею про масу неоднорідної пластинки, то отримаємо формулу

(5)

Яка розкриває фізичний зміст подвійного інтеграла.

Якщо означення 1 зіставити із задачею про об’єм циліндричного тіла, то отримаємо формулу

(6)

Яка розкриває геометричний зміст подвійного інтеграла.

Теорема 1. Якщо функція неперервна в обмеженій квадровній області D, то подвійний інтеграл існує.

Теорему 1 приймаємо без доведення.

Властивості подвійного інтеграла

Основні властивості подвійного інтеграла аналогічні властивостям визначеного інтеграла:

1º.

2º.

3º.

4º.

5º. Якщо і області і не мають спільних внутрішніх точок (вони мають лише спільну межу), то (адитивна властивість ).

6º. Якщо функція неперервна в області D, то існує точка така, що (теорема про середнє значення).

В рівностях 3º, 4º, 5º вважають, що подвійні інтеграли функцій , по вказаних областях існують.

Доведемо, наприклад, властивість 3º. Маємо

При доведенні використані означення подвійного інтеграла і той факт, що сталий множник можна виносити за знак суми і за знак границі.

З властивості 3º при отримуємо рівність 1º, а при і в (D) отримуємо рівність 2º.

Рівність 5º, виходячи з фізичного змісту подвійного інтеграла означає наступне: якщо пластинка D є об’єднанням пластинок і (рис. 2), то, очевидно, маса пластинки D дорівнює сумі мас пластинок і .

Теорему про середнє значення приймаємо без доведення.

Обчислення подвійного інтеграла У декартових координатах

Теорема 2. Нехай функція неперервна в області D, обмеженій лініями , причому функції і неперервні на відрізку [a; b] і для довільного . Тоді має місце формула

(7)

Формула (7) показує, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до обчислення двох визначених інтегралів. Інтеграл справа у формулі (7) називається повторним, причому інтеграл по змінній y називається внутрішнім, а по змінній x – зовнішнім.

Аналітичне доведення формули (7) дещо громіздке, тому наведемо тут міркування, що випливають з фізичного змісту подвійного інтеграла. Будемо вважати, що функція невід’ємна в області D і є поверхневою густиною пластинки D.

Виділимо смугу області D між вертикалями x і (рис. 3). маса цієї смуги (вона заштрихована на рис.7.3), очевидно, дорівнює . Тоді маса всієї пластинки D буде дорівнювати , звідки за фізичним змістом подвійного інтеграла і випливає формула (7).

Приклад 1. Обчислити , якщо область D обмежена лініями і (рис. 4).

Розв’язання. Задані лінії перетинаються в двох точках: O(0, 0) і A(1, 1). Тому за формулою (7) маємо:

У випадку області D, обмеженої лініями , причому функції і неперервні на відрізку [c; d] і для довільного (рис. 5), має місце формула

(8)

Приклад 2. Обчислити , якщо область D обмежена лініями (рис. 6).

Розв’язання. З умов прикладу маємо: . Тому за формулою (8)

Зауважимо, що даний інтеграл можна обчислити і за формулою (7), якщо помітити, що , а

Тоді

Тобто даний інтеграл за адитивною властивістю дорівнює сумі двох інтегралів. Обчислимо кожний з них окремо:

Тоді , тобто отримали попередній результат, але обчислень довелося виконати більше, ніж за формулою (8).

Обчислення подвійного інтеграла у полярних координатах

У ряді випадків обчислення подвійного інтеграла спрощується, якщо перейти до полярних координат за формулами . Тоді

(9)

Формулу (9) одержуємо із означення подвійного інтеграла, якщо область D розбити на частини променями і колами . Тоді (рис. 7).

Приклад 3. Обчислити , якщо область D обмежена колом радіуса R.

Розв’язання. Використаємо формулу (9) для обчислення даного подвійного інтеграла. маємо:

Щоб описати круг , необхідно, щоб r змінювався у межах , а – у межах . Тому

Зауважимо, що в декартових координатах даний інтеграл не можна обчислити за формулами (7) або (8), оскільки первісна функції не виражається у скінченному вигляді.

Цікаво відзначити, що при даний інтеграл має границю , а область D охоплює всю площину XOY. Запишемо інтеграл у вигляді . Тоді отримаємо, що . Цей результат можна одержати і іншими способами, наприклад за допомогою гама-функції Ейлера.

Потрійний інтеграл. Обчислення та застосування.

Потрійний інтеграл

До потрійного інтегралу приводить багато задач. Однією з них є задача про масу неоднорідного тіла G. Нехай у просторі задано неоднорідне тіло G (рис. 12) і – його густина. Треба знайти масу тіла G.

У випадку однорідного тіла, коли , маса m тіла G, очевидно, дорівнює , де V – об’єм тіла G.

Якщо тіло G неоднорідне, то його масу m природно визначити так. Сіткою поверхонь (T) розіб’ємо тіло G на частини …, . Позначимо об’єм частини . У кожній частині довільно візьмемо по одній точці і будемо вважати, що густина у частині скрізь однакова і дорівнює . Таке припущення виправдане, якщо функція неперервна в області G, а частини достатньо малі. Позначимо , . Тоді І за масу m тіла G природно взяти

Якщо ця границя існує.

Таким чином, за означенням,

(19)

Границю справа у рівності (19), якщо вона існує, називають потрійним інтегралом функції по області G і позначають символом або .

Проводячи аналогічні міркування для функції змінних x, y, z, приходимо до означення потрійного інтеграла функції по області G:

(20)

З рівності (19) і означення потрійного інтеграла випливає формула для обчислення маси тіла G:

(21)

Яка ілюструє фізичний зміст потрійного інтеграла.

Потрійний інтеграл існує, якщо область G обмежена і кубовна (тобто має об’єм), а функція неперервна в області G.

Основні властивості потрійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям подвійного інтеграла і тому їх тут не наводимо.

Обчислення потрійного інтеграла в декартових координатах

Теорема 3. Нехай тіло G обмежене знизу поверхнею , зверху – поверхнею , де функції і неперервні в області D, яка є проекцією тіла G на площину XOY, збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі OZ, а напрямною є контур області D (рис. 13). Тоді, якщо функція неперервна в області G, має місце формула

(22)

Доведення формули (22) аналогічне доведенню формули (7) для обчислення подвійного інтеграла. З формули (22) випливає, що обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Приклад 7. Обчислити , якщо область G обмежена поверхнями .

Розв’язання. Маємо: , область D обмежена лініями (рис. 14).

Тому за формулою (22) маємо

Подвійний інтеграл його обчислення та застосування

Обчислення потрійного інтеграла у циліндричних координатах

Обчислення потрійного інтеграла в ряді випадків спрощується, якщо від декартових координат перейти до циліндричних. Нагадаємо, що положення точки M У просторі можна задати не лише декартовими координатами X, Y, Z, а й числами R, , Z, де R, – полярні координати точки , яка є ортогональною проекцією точки M На площину XOY Рис. 15). числа R, , Z Називаються Циліндричними координатами точки M. При цьому .

Циліндричні координати пов’язані з декартовими формулами

(23)

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах має вигляд

(24)

Цю формулу отримуємо шляхом заміни через r, , z за формулами (23). Елемент об’єму dV=dxdydz у циліндричних координатах має вигляд , якщо область G розбивати на частини сіткою поверхонь: (циліндричні поверхні з віссю OZ); (площини, що проходить через вісь OZ, перпендикулярно до площини XOY); (площини, перпендикулярні до осі OZ).

Приклад 8. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями та .

Розв’язання. Дане тіло G обмежене зверху частиною сфери , а знизу – частиною параболоїда (рис. 7.16). для обчислення об’єму тіла G використаємо формулу

Розв’язуємо систему рівнянь

І знаходимо лінію перетину даних поверхонь. Це буде коло , яке лежить у площині . Запишемо рівняння поверхонь у циліндричних координатах і . Проекцією тіла G на площину XOY є круг радіуса з центром у початку координат. Тому за формулою (22) маємо:

Обчислення об’єму цього тіла у декартових координатах значно складніше.

Обчислення потрійного інтеграла у сферичних координатах

Обчислення потрійного інтеграла в ряді випадків також спрощується, якщо від декартових координат перейти до сферичних.

Нагадаємо, що положення точки M можна задати числами , які називаються сферичними координатами цієї точки (рис. 17).

При цьому , .

Сферичні координати пов’язані з декартовими формулами

. (25)

Потрійний інтеграл у сферичних координатах має вигляд

(26)

Дану формулу одержимо шляхом заміни x, y, z через за формулами (25), а елемент об’єму у сферичних координатах має вигляд , якщо область G розбивати на частини сіткою поверхонь: (концентричні сфери з центром у початку координат), (площини, що проходять через вісь OZ перпендикулярно до площини XOY), (кругові конічні поверхні з вершиною у початку координат і віссю OZ).