1.
. Умови рівноваги систем сил, прикладених до твердого тіла.
МЕта роботи: Студенти на практичних заняттях повинні набути практичних навичок з розрахунків рівноваги системи сил, прикладених до твердого тіла. Ознайомитися з основними поняттями та термінологією теми “Статика” розділу “Теоретична механіка”. Навчитися креслити різні види твердих тіл та прикладати сили, діючі на ці тіла. Засвоїти умови рівноваги системи сил, прикладених до твердого
Тіла
Знаходиться в рівновазі.
Типові задачі.
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ,
Задача №1. Балка АВ з однорідного матеріалу масою m = 100кг тримається в горизонтальному положенні за допомогою стержня СВ. який утворив гострий кут α = З0о з віссю балки. Необхідно визначити реакції в шарнірах А та В.
Рішення: Балка знаходиться в рівновазі при дії трьох непаралельних сил, напрямок дії яких, згідно с теоремою про три сили, повинні перехрещуватися в одній точці (точка О). Тому реакція шарніра А буде направлена поздовж лінії ОА. Реакція шарніра В буде направлена поздовж стержня СВ. Сила ваги балки АВ, прикладена посередині балки АВ, буде дорівнювати:
G = m g = 100
,81 = 981 Н, де g – прискорення сили тяжіння, м/с2; 
=300.
Вводимо систему координат уАх
Рис.1.Схема діючих сил
Трикутник АОВ рівнобедрений, тому кут ОАВ = .
Сис сил, діюча на балку, плоска сходжувана, тому
1) 
Fіх = 0 : RA соsa – RB соsa= 0;
2) SFiy = 0; RA sina + RB sina – G= 0;
З першого рівняння одержимо RA соsa = RB соsa; RA= RB ;
З другого: RA sina + RBsina=G
RA=G/2sina==981/2sin300=981/2 
=981H; RB=981H.
Рис.2. Трикутник сил
Задача №2. Між двома стінами висить на вірьовках ліхтар рис.3. силою ваги G = 20 Н. Ліва сторона вірьовка забезпечує кут зі стіною α =450, а права – кут β =300. Знайти натягнення обох вірьовок.
Рис.3a.
O
RB
RB
G RA 450 300
x
O
E
RA
рис.3б. рис.3в.
Рішення. В задачі потрібно знайти натягнення вірьовок. Активна сила ваги G ліхтаря діє на точку С. ця точка невільна, в’язь здійснюється вірьовками СА та СВ. Розглянемо рівновагу точки С. для цього звільнимо її від в’язей і замінимо їх дію реакціями. Тоді точку С можливо розглядати як вільну яка знаходиться в рівновазі під дією трьох активних сил: G та реакцій RA і RB вірьовок.
1 спосіб-ГРАФІЧНИЙ – вибираємо масштаб сил, тобто 1Н в 1 мм, відкладаємо в цьому масштабі від довільної точки О в напрямку сили G вектор цієї сили довжиною 20 мм (рис.2б) із початку цього вектора проводимо пряму ОЕ, паралельну вірьовці ВС, а з кінця D – пряму , паралельну вірьовці СА. Одержаний силовий багатокутник повинен бути замкнутий. Сторони цього трикутника DЕ і ЕО дають модулі та направлення невідомих реакцій. Для знаходження їх модулів, а внаслідок чого, і натягнення вірьовок, заміряємо в прийнятому масштабі довжини сторін трикутника DЕ і ЕО.
2 спосіб-ГЕОМЕТРИЧНИЙ. Невідомі сторони силового трикутника знайдемо шляхом ви числення. Із першого способу видно, що кут ОDЕ = α і кут ЕОD = β. По теремі сінусів отримуємо
=
,
Звідки
Т1 = 
= 10,4 Н.
Т2 =
14,7H.
3.АНАЛІТИЧНИЙ спосіб. Приймемо початок координат в точці С рівновагу якої розглядаємо. Із рис.1. видно, що кути (Т1, у)= α =450 і (Т2,у) = β =300. знаходимо проекції всіх сил на вибрані координатні осі і заносимо їх у таблицю.
|
Сила |
Проекції сили на осі |
|
|
Х |
У |
|
|
G Т1 Т2 |
0 -Т1cos(900- α)=-T1cos450 Т2cos (900- β)=T2cos 600 |
– G Т1 cos450 T2cos 300 |
Рівняння рівноваги приймають вигляд
∑ ХК =-T1cos450 + T2cos 600 = 0,
∑ Ук = – G + Т1 cos450 + T2cos 300= 0,
Cos450= 
= 0,707, cos 600= 0,5. cos 300= 
=0,866. і G =20Н,
Підставимо знайдені значення, одержимо
-0,707 Т1 + 0,5 T2 = 0, -20 + 0,707 Т1 + 0,866 T2=0,
Вирішуючи ці рівняння одержимо
Т2 =
=14,6 Н. Т1 = 
= 10,3 Н.
Задача №3
На кінцях консолей балки діють дві рівні сили F=F’=30 кН, причому сила F направлена вверх, а сила F’ – вниз.
Визначити реакції опор балки, знехтуючи її вагою, якщо проліт балки L=6 м і довжина кожної консолі а=2 м. Рис.4.
Рішення.
На задану консольну балку діє пара сил (F, F’), вона намагається повернути балку по годинниковій стрілці. Момент цієї пари М= – F(l +2a). Так як балка знаходиться в рівновазі, а пара може бут зрівноважена тільки парою, то реакція опор Ra и Rb повинні також складати пару (Ra, Rb) намагається повернути балку в протилежну сторону, – проти годинникової стрілки. Момент цієї пари сил реакцій МR=Ral.
Згідно умови рівноваги пар
М+МR = – F(l +2a) + Ral =0
Звідки
Rb = Ra =
= 
= 50 кН
Задача №4
Запобіжний клапан парового котла діаметром d=65 мм и силой ваги G1 = 80 Н з’єднаний стержнем АВ з ричагом ОС довжиною 60 см и силою ваги G2 = 24 Н, обертаючимся на шарнірі О, причому ОА=8 см.
В якій точці D на ричаг ОС повинен бути підвішений вантаж G=250 Н для того, щоб клапан відкривався, якщо тиск в котлі досягне p=500 кПА.
Рис.5.
Рішення.
До ричага ОС прикладені паралельні сили: в точці А сила F тиск пара и сила G1 ваги клапана (направлені по одній прямій в протилежні сторони), в точці Е (в середині ричага) сила G2 ваги ричага і в деякій точці D сила G ваги вантажу.
За умовою рівноваги ричага:
МО(Fk)=F
ОА – G1 ОА – G2 ОЕ – G ОD=0
Сила тиску пари на клапан
F = 
P = 
500 = 1,66 кН = 1660 Н
Підставивши знайдене значення сили F і відомі значення відстаней в попереднє рівняння, одержимо ОD= 45,8 см.
Задача №5
Консольна балка АВ навантажена так, як показано на рисункі. Інтенсивність рівномірно розподіленої по всій довжині балки навантаження q=20 кН/м. Довжина балки l= 2 м. В точці В балки прикладена зосереджене навантаження F=40 кН, направлена вниз під кутом 
=300 до вертикалі. Визначити реакції жорсткої консолі, нехтуючи силою ваги балки. Рис.6.
Рішення.
Розглянемо рівновагу балки. Активними силами, прикладеними до балки, будуть рівномірно розподілене навантаження, рівнодіюча якої Q=ql=20
2=40 кН прикладена в середині балки, і зосереджена сила F. В точці А на балку накладена жорстка в’язь (заробка в стіну), яка перешкоджує лінійним переміщенням балки і не дозволяє їй обертатися навколо точки А. Дія такого зв’язку, эквівалентно дії однієї реакції RA та деякої пари.
Напрямок обертання цієї пар нам, взагалі кажучи, невідомо. Приймемо момент МА цієї пари за позитивний, тобто, будемо рахувати, що ця пара намагається повернути балку проти ходу стрілки годинника. Якщо при рішенні задачі значення цього момента буде негативним, то це буде означати, що в дійсності напрямок обертання пари протилежний прийнятому.
Так як напрямок реакції RA нам також, невідомий, то розкладемо її на складові ХА и YA, напрямок яких показано на рисункі.
Таким образом, дана балка знаходиться в рівновазі під дією плоскої системи сил Q, F, ХА, YA та пари моментів МА.
Складаємо рівняння рівноваги балки:
Xk = ХА +F sin=0, Yk =YA – Q – F cos=0
МА(Fk) = МА – Q 
– F l cos=0
Рішаємо цю систему рівнянь і підставимо дані, одержимо
ХА = – F sin= – 20 кН, YA= Q + F cos=74,6 кН
МА = Q + F cos= 109,3 кН м
Знак «-» вказує на те, що одержане для ХА, показує, що в дійсності складова ХА реакція направлена в сторону, протилежну взятої.
Задача № 4
(для самостійного рішення)
Визначити реакції зв’язків у стержнях АВ та ВС. Сили які діють на стержні відповідно дорівнюють F1 =10 кН, F2= 15кН. Задачі які показані на рисунках 1. 2. 3 студенти повинні вирішити самостійно на практичних заняттях протягом однієї пари.
Рис.1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Відповіді: Задача №1-Ra= кН, Rc= кН., Задача №2- – Ra= кН, Rc=кн., Задача №3 – Ra= кН, Rc=кн.,
ПИТАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ:
1. Які зв’язки бувають у невільних твердих тілах?
2. Що таке реакції в’ язів?
3. Дайте визначення головного вектору системи сил та головного моменту системи.
4. В яких випадках можливі головний вектор системи сил та головний момент системи сил?
5. Які умови рівноваги плоскої сходжувальної системи сил?
6. Суть теореми про три сили, які діють на тверді тіла, що знаходяться в рівновазі.
7. Які умови рівноваги паралельних сил?
8. Момент сили відносно точки та вісі.
9. Що називають парою сил?
10. Чому дорівнює момент пари сили?
11. Умови рівноваги плоскої всякої системи сил.
12. Як перенести вектор сили в іншу точку?
13. Умови рівноваги всякої просторової системи сил.
Ви прочитали: "Умови рівноваги систем сил, прикладених до твердого тіла."Читати далі