Первинна обробка даних – №4

4. Похибки прямих вимірів

Розглянемо ситуацію, найбільш типову при виконанні фізичного експерименту. Допустимо, багаторазовим прямим виміром отримані n значень постійної величини x :

X1, x2, ….., xi,……, xn. (4.1)

Всі окремі виміри виконані одним методом з однаковим ступенем старанності (Їх називають однаково точними), але результати мають розкид, тобто обмірювані значення величини відрізняються одне від іншого. Хоча не виключено, що серед них можуть виявитися й однакові. Набір даних (4.1) підлягає спільній обробці для

визначення остаточного результату багаторазового виміру й оцінювання його похибки.

Насамперед повинні бути виявлені промахи, а відповідні їм результати відкинуті. З цією метою слід досить уважно переглянути таблиці результатів, звертаючи увагу на «неприродні» значення вимірюваної величини, що різко відрізняються від інших.

Наступним етапом обробки є виявлення систематичних похибок, що обчислюють і враховують у вигляді поправок до результатів.

Коли промахи і систематичні похибки усунуті, в даних (4.1) залишається врахувати тільки випадкові і похибки приладу. Перейдемо до вивчення правил роботи з ними.

4.1. Випадкові похибки

Випадкові похибки, як уже відзначено, виявляються в розкиді результатів окремих вимірів постійної величини. Для визначення розкиду (і оцінювання похибки результату окремого виміру), необхідно обчислити середнє квадратичне відхилення, що знаходять згідно (3.4). Зі збільшенням кількості вимірів n оцінка значення величини s практично перестає залежати від n, а це означає, що значення s відомо точніше, а виходить, у підсумку зменшується неточність при оцінюванні похибки окремого виміру. З ростом n також стабілізується оцінка , що знаходиться по формулі (3.2). Отже, повинна зменшуватися похибка остаточного результату багаторазового виміру, за який приймають середнє значення .

Зв’язок середнього квадратичного відхилення s() остаточного результату (іншими словами, похибки визначення середнього значення) і середнього квадратичного відхилення s окремого виміру задає співвідношення

(4.2)

Важливим практичним висновком з (4.2), що відноситься до багаторазових вимірів, що містять тільки випадкові помилки, є висновок про можливість зменшити похибку остаточного результату при збільшенні кількості n окремих вимірів. Однак також варто пам’ятати, що підвищення точності ніколи не дається задарма. Так, щоб довідатися додаткову значущу цифру в , тобто підвищити точність у 10 разів, кількість вимірів необхідно збільшити в 100 разів!

Розглянемо самий поширений випадок нормального розподілу як результатів окремих вимірів xi, так і середнього значення. За оцінку похибки остаточного результату багаторазового виміру приймемо величину Dx, що задає симетричний відносно інтервал значень від – DX До + DX , що називається Довірчим інтервалом .

Імовірність знайти значення вимірюваної величини в зазначеному інтервалі зветься Довірчою імовірністю a:

. (4.3)

Нормальний розподіл описаний у попередньому розділі. Для нього в табл.1 Додатків приведені довірчі імовірності для довірчих інтервалів, розміри яких виражені в частках середнього квадратичного відхилення

. (4.4)

Якщо поняття довірчого інтервалу використовувати стосовно до окремого виміру, то в (4.4) під SТабл варто розуміти середнє квадратичне відхилення s результату цього окремого виміру. Якщо ж віднести довірчий інтервал до багаторазового виміру, то під SТабл необхідно підрозумівати середнє квадратичне відхилення остаточного результату Багаторазового виміру, тобто s(). За допомогою зазначеної таблиці випадкову похибку остаточного результату можна знайти, скориставшись записом

(Dx)вип = e-s() =, (4.5)

Де величину E беруть з таблиці для заданого значення довірчої імовірності.

Значення випадкової похибки однозначно визначене тільки після задання двох чисельних значень: значення довірчого інтервалу, що є оцінкою похибки, і відповідного значення довірчої імовірності. Просто «похибка» не існує, тому що без задання відповідної їй довірчої імовірності невідомо наскільки є надійним отриманий результат.

Часто замість (4.3) використовують запис

X = ± Dx, a =….

Зробимо основний висновок: збільшення надійності результату виміру є наслідком розширення довірчого інтервалу, хоча, на перший погляд, відбувається зовсім зворотнє. Але ж чим ширший довірчий інтервал, тим імовірніше, що вимірювана величина не перебуває за його межами! Вибір конкретного значення довірчої імовірності залежить від характеру виконуваних вимірів. При звичайних вимірах досить обмежитися імовірністю 0,68 чи 0,95 – їм відповідають значення e рівні 1 і 2. Для вимірів, до яких висувають високі вимоги по надійності, варто використовувати A = 0,997 , якому відповідає e = 3 (так зване Правило трьох стандартів). При обробці результатів експериментальних робіт рекомендується застосовувати довірчу імовірність a = 0,68, тому немає потреби використовувати її в записі x= ± Dx. Більш того, A=0,68 – прийнятий у світовій практиці рівень довірчої імовірності, що ніколи не обмовляють спеціально.

В експерименті значення s() оцінюють виходячи з результатів окремих вимірів, кількість яких звичайно не перевищує 5 – 10. Тому точність оцінювання s() невелика. Це вносить додаткову невизначеність в остаточний результат багаторазового виміру. Щоб її врахувати, варто розширити границі довірчого інтервалу, заданого вище для точно відомої величини s(). Зрозуміло, що меншій кількості окремих вимірів повинен зіставлятися більш широкий довірчий інтервал. Замість (4.5) необхідно використовувати інший вираз

(Dx)вип = t(a, n)s() , (4.6)

Де t(α, n) – коефіцієнти, що залежать від повної кількості вимірів n і заданого значення довірчої імовірності α. Величини t(a, n) звуться коефіцієнтами Стьюдента. Вони обчислені в статистиці для різних значень a і n – їх можна знайти в табл.2 Додатків.

У таблиці значення коефіцієнта розташоване на перетині рядка з кількістю окремих вимірів n і стовпця з обраним значенням довірчої імовірності a. Вивчивши таблицю, нескладно помітити, що при збільшенні кількості вимірів коефіцієнти практично збігаються з використаними вище величинами e для того ж значення довірчої імовірності a. Це є наслідок переходу від оцінок параметрів нормального розподілу до їхнього точного задання, що реалізується тільки при дуже великій кількості виконаних вимірів.

4.2. Похибки приладів

Виникнення похибок приладів обумовлено властивостями використовуваних вимірювальних приладів. Похибка кожного конкретного приладу є систематичною, але її значення звичайно невідоме, а виходить, її неможливо виключити введенням у результат виміру відповідної поправки. У паспорті приладу прийнято вказувати межу припустимої похибки q, що означає максимально можливу похибку при рекомендованих умовах роботи приладу. Якби похибка приладу була розподілена за нормальним законом, то з такого визначення q випливало б, що розподіл характеризується середнім квадратичним відхиленням sприл = .

Для електровимірювальних стрілочних приладів прийнято вказувати Клас точності , записуваний у вигляді числа, наприклад, 0,05 чи 4,0. Це число дає максимально можливу похибку приладу, виражену у відсотках від найбільшого значення величини, вимірюваної в даному діапазоні роботи приладу. Так, для вольтметра, що працює в діапазоні вимірів 0 – 30 В, клас точності 1,0 визначає, що зазначена похибка при положенні стрілки в будь-якім місці шкали не перевищує 0,3 В. Відповідно, середнє квадратичне відхилення s прил складає 0,1 В.

Відносна похибка результату, отриманого за допомогою зазначеного вольтметра, залежить від значення вимірюваної напруги, стаючи неприпустимо високою для малих напруг. При вимірі напруги 0,5 В похибка складе 20% . Як наслідок, такий прилад не годиться для дослідження процесів, у яких напруга змінюється на 0,1 – 0,5 В.

Звичайно ціна найменшого розподілу шкали стрілочного приладу погоджена з похибкою самого приладу. Якщо клас точності використовуваного приладу невідомий, за похибку sприл завжди приймають половину ціни його найменшого поділу. Зрозуміло, що при зчитуванні показів зі шкали недоцільно намагатися визначити частки поділу, тому що результат виміру від цього не стане точнішим.

Зазначеним чином необхідно працювати з лінійками і шкалами інших приладів, у тому числі із сіткою на екрані осцилографа. Наприклад, на екрані осцилографа нанесена сітка з розмірами клітинки 10×10 чи 5×5 мм, а для відліку малих розподілів є додаткова міліметрова сітка. Похибка відліку по сітці складе не менше 0,5 мм. Якщо розміри зображень, що спостерігаються, порядку 5 – 10 мм, їм відповідає похибка 5-10% то осцилограф не можна використовувати для більш точних вимірів.

Межу припустимої похибки цифрового вимірювального приладу розраховують по паспортних даних, що містять формулу для розрахунку похибки саме даного приладу. При відсутності паспорта за оцінку похибки sприл приймають одиницю найменшого розряду цифрового індикатора. Так, отримуваній на індикаторі частоті 161,2 кГц похибку частотоміра оцінюють як 0,1 кГц.

4.3. Сумарна похибка

Остаточний результат багаторазового виміру містить у собі як випадкову, так і похибку приладу. Випадкова похибка зменшується зі збільшенням кількості окремих вимірів, а похибка приладу не міняється, залишаючись у межах ±q. При виконанні багаторазового виміру бажано одержати стільки окремих вимірів, скільки необхідно для виконання співвідношення

(Dx)вип<< q.

У такому випадку похибка остаточного результату буде цілком визначена лише похибкою приладу. Однак частіше зустрічається ситуація, коли випадкова похибка і похибка приладу близькі за значенням, а тому обидві впливають на остаточний результат. Тоді їх необхідно враховувати спільно і за сумарну похибку приймають

. (4.7)

Оскільки випадкову похибку звичайно оцінюють за довірчою імовірністю 0,68 , а q – оцінка максимальної похибки приладу, то можна вважати, що вираз (4.7) задає довірчий інтервал також з імовірністю не меншою за 0,68. При виконанні однократного виміру оцінкою похибки результату служить Dx = q/3, що враховує тільки гранично припустиму похибку приладу.

Зустрічаються ситуації, коли випадкову похибку і похибку приладу вдається порівняти без обчислень (Dx)вип. Це можливе, якщо результати окремих вимірів не виходять за межі припустимої похибки приладу:

(xmax – xmin) <=2q,

Де xmax, xmin – найбільше і найменше значення вимірюваної величини. Підвищення точності багаторазового виміру в такому випадку неможливе, а похибкою остаточного результату буде q/3.

4.4. Врахування похибки в записі остаточного результату виміру

Завершенням обробки даних багаторазового прямого виміру при заданій довірчій імовірності є два числа: середнє значення вимірюваної величини, знайдене згідно (3.2), і його похибка (напівширина довірчого інтервалу), оцінювана за допомогою (4.2), (4.6) і (4.7). Обидва числа є остаточним результатом багаторазового виміру і повинні бути сумісно записані в Стандартній формі

Реферати :

Ви прочитали: "Первинна обробка даних – №4"
Читати далі