Основні поняття математичного моделювання
1. 1. Загальна постановка задачі математичного програмування.
2. Класифікація задач математичного програмування.
3. Загальні відомості про моделювання та економіко – математичні методи.
4. Основні етапи моделювання.
1. Загальна постановка задачі математичного програмування.
Математичне програмування – математична дисципліна, яка займається вивченням екстремальних задач та розробкою методів їх розв’язку.
В загальному вигляді екстремальна
(1.1)
При умовах
, 
, (1.2)
Де 
і 
– задані функції, а 
– деякі дійсні числа.
Розглянемо основні поняття, які зустрічаються в курсі математичного програмування.
Модель – це відображення найбільш суттєвих характеристик взаємозв’язків та процесів реальних систем. Наприклад, модель літака.
Моделювання – це відтворення або імітування деякої існуючої системи на спеціально побудованій моделі. Наприклад, політ моделі літака в лабораторних умовах.
Економіко – математична модель– це опис кількісних взаємозв’язків та взаємозалежностей економічних систем чи процесів в математичній формі (див Приклади 1.1, 1.2).
.
Умови, що дозволяють Моделювати економічну ситуацію
1) всі вимоги та умови задачі повинні виражатися у вигляді лінійних рівнянь та нерівностей;
2) дана задача повинна мати багатоваріантний зв’язок, наприклад, різні способи виробництва;
3) мета, якої необхідно досягти в процесі розв’язку задачі, має бути чітко виражена економічно і формулюватись у вигляді лінійного співвідношення з можливістю отримання однозначної відповіді.
Приклад 1
Для виготовлення 
видів продукції 
використовуєтсья 
видів ресурсів 
. Запаси ресурсів, число одиниць ресусів, що витрачаються на виготовлення одиниці продукції, прибуток від реалізації одиниці продукції наведені в таблиці 1.1.
Таблиця 1.1
|
Вид ресурсу |
Число одиниць ресурсу, що витрачається на виготовлення одиниці продукції |
Запас ресурсу |
|||
|
|
|
… |
|
||
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
Прибуток від одиниці продукції |
|
|
… |
|
Необхідно скласти такий план випуску продукції, при якому прибуток від її реалізації буде максимальним.
Наведений приклад відноситься до задачі про використання ресурсів, або, іншими словами, до задачі планування виробництва.
Постановка задачі планування виробництва в загальному випадку: знайти такий план 
випуску продукції, який задовольняє систему обмежень і при якому цільова функція приймає максимальне значення.
Узагальнюючи наведене вище, постановку загальної задачі лінійного програмування запишемо у вигляді системи лінійних рівнянь та нерівностей з змінними
(3)
І лінійної функції
(4)
Необхідно знайти такий розв’язок системи , для якого
(5)
І лінійна функція (4) приймає оптимальне (максимальне чи мінімальне) значення.
Такий розв’зок називаєтсья оптимальним розв’язком або Оптимальним планом задачі лінійного програмування.
Скорочено загальну задачу лінійного програмування можна записати у вигляді:
(2.1)
За умови
, (2.3)
, (2.4)
Де 
, 
, 
– задані сталі величини, 
.
2. Класифікація задач математичного програмування.
В залежності від того, які функції і розрізняють різні Класи задач математичного програмування:
Задачі Опуклого програмування – це задачі, розв’язком яких є максимум опуклої чи мінімум увігнутої функції.
Задачі Квадратичного програмування – задачі, в яких необхідно знайти максимум чи мінімум квадратичної функції за умови, що її змінні задовольняють деяку систему лінійних обмежень (нерівностей чи рівнянь)
Задачі Цілочислового програмування – задачі, в яких невідомі можуть приймати тільки цілі значення.
Задачі Параметричного програмування – задачі, в яких цільова функція або коефіцієнти системи обмежень залежать від деяких параметрів.
Задачі Дробово-лінійного програмування – задачі, в яких цільова функція є співвідношенням двох лінійних функцій.
Задачі Стохастичного програмування – задачі, в яких цільова функція або система обмежень містять випадкові величини.
Задачі Динамічного програмування – задачі, процес розв’язання яких є багатоетапним.
Існують Інші класифікації задачі математичного програмування. Ознаками класифікації можуть бути:
За характером взаємозв’язку між змінними: Лінійне та Нелінійне. За типом змінних: Неперервні (значення кожної змінної можуть приймати всі значення деякого інтервалу) та Дискретні (цілочислові) (усі або хоча б одна змінна приймають окремі – цілочислові – значення). За врахуванням фактора часу: Статичні (незалежність елементів моделі від часу) та Динамічні (залежність елементів моделі від часу). За аявністю інформації про змінні: Задачі в умовах повної визначеності (детерміновані); Задачі в умовах неповної визначеності Та Задачі в умовах невизначеності. За числом критеріїв оцінки альтернатив: Прості (однокритеріальні задачі) та Складні (багатокритеріальні задачі).
4. Основні етапи моделювання.
1етап. Постановка економіко – математичної задачі (ЕМЗ).
При постановці ЕМЗ необхідно чітко сформулювати, що необхідно визначити, при яких основних умовах, якої мети прагнемо досягти.
2етап. Підготовка вхідної інформації.
Для більшості задач сільськогосподарського виробництва до вхідної інформації відносять: обсяги виробничих ресурсів, затрати цих ресурсів на одиницю продукції, технічні способі виробництва, урожайність та ціни реалізації окремих видів продцукції тощо.
Інформація може бути нормативна і звітна. Нормативна використовується при плануванні виробництва і береться з відповідних довідників або готується по кожній змінній окремо за загально прийнятою методикою на основі розроблених технологічних карт або методів математичної статистики. Звітна інформація призначена для аналізу економічних процесів. Її джерелами є статистична, бухгалтерська, спеціальна звітність даних.
3 етап. Побудова математичної моделі задачі.
На цій стадії мета задачі та умови виробництва виражаються в алгебраїчній формі у вигляді рівнянь або нерівностей, що характеризують кількісні залежності. Цю стадію називають математичною інтерпретацією ЕМЗ.
2. Термінологічний словник
Модель – це відображення найбільш суттєвих характеристик взаємозв’язків та процесів реальних систем. Наприклад, модель літака.
Моделювання – це відтворення або імітування деякої існуючої системи на спеціально побудованій моделі. Наприклад, політ моделі літака в лабораторних умовах.
Економіко – математична модель– це опис кількісних взаємозв’язків та взаємозалежностей економічних систем чи процесів в математичній формі (див Приклади 1.1, 1.2).
Задачі Опуклого програмування – це задачі, розв’язком яких є максимум опуклої чи мінімум увігнутої функції.
Задачі Квадратичного програмування – задачі, в яких необхідно знайти максимум чи мінімум квадратичної функції за умови, що її змінні задовольняють деяку систему лінійних обмежень (нерівностей чи рівнянь)
Задачі Цілочислового програмування – задачі, в яких невідомі можуть приймати тільки цілі значення.
Задачі Параметричного програмування – задачі, в яких цільова функція або коефіцієнти системи обмежень залежать від деяких параметрів.
Задачі Дробово-лінійного програмування – задачі, в яких цільова функція є співвідношенням двох лінійних функцій.
Задачі Стохастичного програмування – задачі, в яких цільова функція або система обмежень містять випадкові величини.
Задачі Динамічного програмування – задачі, процес розв’язання яких є багатоетапним.
3. Рекомендована література
1. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н. Ш.Кремер, Б. А.Путко, И. М.Тришин. М. Н.Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
2. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1986.
3. Бугір М. К. Математика для економістів. Лінійна алгебра, лінійні моделі: Навч. посіб. – К.: ВЦ «Академія», 1998.
4. Гвоздинський А. М. Оптимізаційні задачі в організаційному управлінні: Навч. посіб.-Харків: ХДТУР, 1997.
5. Гетманцев В. Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування:
Навч. посіб. – К.: Либідь, 2001.
6. Григорків B. C., Бойчук М. В. Практикум з математичного програмування: Навч. посіб. – Чернівці: Прут, 1995.
7. Деордица Ю. С., Савченко В. Т. Компьютерные технологии в экономике и менеджменте: Учеб. пособие. – Луганск: ВУГУ, 1999.
8. Зайченко Ю. П. Дослідження операцій: Підручник. – К.:
ВШОЛ, 2000.
9. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие / Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1999.
10. Кігель В. Р. Елементи лінійного, цілочислового лінійного, нелінійного програмування: Навч. посіб. – К.: ІСДО, 1995.
Ви прочитали: "Основні поняття математичного моделювання"Читати далі