Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
1. Графічний метод розв’язання задач лінійного програмування застосовується в тих випадках, коли система обмежень і цільова функція містять не більше двох змінних.
Розглянемо алгоритм даного методу на прикладі.
Фермер вирощує два види тварин – норок та нутрій. Для цього використовується три види кормів. Щоденна кількість корму кожного виду наведена в таблиці 1.2. В ній також вказані запаси кормів та прибуток від реалізації 1 норки та 1 нутрії.
Таблиця 1.2
|
Вид корму |
Добовий раціон |
Запаси кормів |
|
Норки |
Нутрії |
||
|
І |
2 |
3 |
180 |
|
ІІ |
4 |
1 |
240 |
|
ІІІ |
6 |
7 |
426 |
|
Прибуток |
16 |
6 |
Математична модель задачі має вигляд:
1) В прямокутній системі координат будують прямі, рівняння яких отримують шляхом заміни знаків нерівності на знаки рівності в системі обмежень. Тобто, система обмежень набуде вигляду:
2) Знаходять півплощини, що визначаються кожним з обмежень задачі. Для цього обирають будь-яку точку площині, наприклад, точку (0;0). Підставляють її координати в початкову нерівність. Якщо нерівність виконується, то обирають ту частину півплощини, в якій знаходиться точка (0;0). Якщо ж нерівність не виконується – обирають частину площини, протилежну до тієї, де знаходиться обрана точка.
3) Знаходять багатокутник розв’язків як спільну частину визначених півплощин.
4) Будують вектор 
з координатами, рівними коефіцієнтам цільової функції, тобто вектор з координатами (16;6).
5) Через точку (0;0) проводять перпендикулярну до вектора пряму А.
6) Пересуваючи пряму А в напрямку вектора , визначають першу та останню точки перетину прямої з багатокутником розв’язків. Перша точка – точка мінімуму, остання – точка максимуму.
7) Визначають координати точки максимуму (мінімуму) як точки перетину двох прямих, розв’язуючи систему відповідних лінійних рівнянь.
8) Визначають значення цільової функції в точці максимуму (мінімуму), підставляючи в цільову функцію координати точки максимуму (мінімуму).
В результаті описаних дій отримуємо:
Останньою точкою перетину прямої 
з багатокутником розв’язків є точка В. Вона лежить на перетині прямих (1) і (2). Розв’язуючи систему з двох рівнянь отримуємо координати точки В (57, 12). Підставляючи координати цієї точки в цільову функцію, отримуємо 
.
Отже, 
.
Інакше, фермер отримає максимальний прибуток в розмірі 984 грош. од., якщо буде вирощувати 57 норок і 12 нутрій.
Рис.1
2. Термінологічний словник
Цільова функція-Функція, що виражає критерій оптимальності задачі в математичній формі.
Цільова функція і система обмежень разом складають Математичну модель.
Моделювання – це відтворення або імітування деякої існуючої системи на спеціально побудованій моделі. Наприклад, політ моделі літака в лабораторних умовах.
Економіко – математична модель – це опис кількісних взаємозв’язків та взаємозалежностей економічних систем чи процесів в математичній формі (див Приклади 1.1, 1.2).
Багатокутник розв’язків визначається як спільна частина півплощин, що визначаються із системи обмежень
3. Рекомендована література
1. Богаєнко І. М., Григорків B. C., Бойчук М. В., Рюмашин М.0. Математичне програмування: Навч. посіб. – К.: Логос, 1996.
2. Бугір М. К. Зошит для практичних занять з математичного програмування. – Тернопіль: Підручники і посібники, 1999.
3. Бугір М. К. Математика для економістів. Лінійна алгебра, лінійні моделі: Навч. посіб. – К.: ВЦ «Академія», 1998.
4. Гвоздинський А. М. Оптимізаційні задачі в організаційному управлінні: Навч. посіб.-Харків: ХДТУР, 1997.
5. Гетманцев В. Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування:
Навч. посіб. – К.: Либідь, 2001.
6. Григорків B. C., Бойчук М. В. Практикум з математичного програмування: Навч. посіб. – Чернівці: Прут, 1995.
7. Деордица Ю. С., Савченко В. Т. Компьютерные технологии в экономике и менеджменте: Учеб. пособие. – Луганск: ВУГУ, 1999.
8. Зайченко Ю. П. Дослідження операцій: Підручник. – К.:
ВШОЛ, 2000.
9. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие / Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1999.
10. Кігель В. Р. Елементи лінійного, цілочислового лінійного, нелінійного програмування: Навч. посіб. – К.: ІСДО, 1995.
11. Мазаракі А. А., Толбатов Ю. А. Математичне програмування в Ехсе1:Навч. посіб. – К.: Четверта хвиля, 1998.
12.Романюк Т. П., Терещенко Т. А., Присенко Г. В., Городкова І. М. Математичне програмування: Навч. посіб. – К.: ІЗМН, 1996.
13.Цегелик Г. Г. Лінійне програмування: Навч. посіб. – Львів: Світ, 1995.
14.Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие / Под ред. В. В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999.
15.Крушевський А. В. Справочник по экономико-математическим моделям и методам. – К.: Техника, 1982, – 208 с.
Іб. Вивальнюк Л. М. Елементи лінійного програмування. – К.: Вищашк., 1975,-191 с.
17. Шуенкин В. А., Жуков И. А. Основы математического программирования. – К.: КМУГА, 1999, – 306 с.
18. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высш. Шк.», 1986, – 319 с.
19. Ляшенко И. Н. Линейное и нелинейное программирование. – і К.: Вищашк., 1975,-371 с.
20. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н. Ш.Кремер, Б. А.Путко, И. М.Тришин. М. Н.Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
21. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1986.
Ви прочитали: "Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування…"Читати далі