6
: Розтяг та стиснення матеріалу механізмів.
1. Мета роботи. Ознайомитися з основними поняттями та термінологією розділу „Опір матеріалів”
Засвоїти основні розрахункові формули по розтягу та стисненню матеріалів. Засвоїти, що таке допускні напруження та умови міцності та жорсткості конструкції.
2 типові задачі. Задача №1. Перевірити міцність тяги ВС, Матеріал –сталь Ст3, допустиме напруження [σ]= 160 МПа.
матеріалу механізмів." title="Розтяг та стиснення матеріалу механізмів." width="395" height="431" class=""/>
Рис.1.
Рішення: Поздовжню силу N, виникаючу в довільному поперечному перерізі тяги визначимо, застосувавши метод січення і розглядаємо рівновагу балки АD.
∑ М А = 0; Fl – ( N sin α ) a = 0,
звідки N = Fl/ a sin α; підставивши чисельні значення, одержимо
N = 40х2,5 / (2.0х sin 300) = 100 кН.
Напруження в поперечному перерізі тяги
σ = 
= 
= 162х106 Па= 162 МПа
Де площина поперечного перерізу одного рівнобічного угілка 40х40х4 А1 = 3,08 см2. Площина перерізу тяги А=2А1. напруження вище допустимого всього на 1,25%, значить міцність тяги забезпечена.
Задача №2. Підрахувати приріст довжини стального стержня ступінчатого перерізу, показаного на рис. 2, якщо l1 =50 см, l2 =80 см, l3 =40 см, l4 =60 см; Е = 2х105 МПа( 2х106кгс/см2) F1 = 10см2; F2 = 20 см2.
Рішення. із умови рівноваги нижньої відсіченої частини знаходимо внутрішні зусилля в перерізах I –I, II – II, III – III, N1 =P1= 2kH ( 200кгс); N2 =P1 – P2 = 2 – 5 = -3кН (-300 кгc); N3 =P1 – P2 + Р3 = 2 – 5 + 3 = 4 кН (400 кгc).
На рис.2б показано епюру N (в кгc). Повне видовження стержня визначимо як суму видовження окремих його ділянок;
∆ĺ = 
= 
= -4х10-6м, = -4х10-4см.
Задача 1.1.
Розрахунок стержня ступінчате – змінного перерізу при розтяганні – стисканні.
Побудувати епюри повздовжніх сил та напружень.
Модуль пружності Е=2·105 Мпа.
Р=150 Н, a=1,5 м, q=56 н/м, F=700 мм2.
Розв’язок.
Спочатку визначимо реакцію защемлення, направляючи вісь від защемлення вздовж стержня.
Умови рівноваги:
–R + P + P + 2a·3q + 2aq = 0;
R = 2P + 8aq = 300+12·6=972H.
Далі знаходимо закон змінювання повздовжніх зусиль N(x) на кожній з трьох ділянок (I, II, III).
В межах кожної ділянки зусилля N(x) визначено методом перерізів, розглядаючи рівновагу частини стержня, що залишилась після відсічення на деякій текучій відстані Х.
III ділянка.
NIII(x)=qx;
NIII(0)=0;
NIII(2a)=aq=56·1,5=84H.
I ділянка.
NI(x)=R–3qx;
NI(0)=R=972H;
NI(2a)=R–6aq=468H. I ділянка.
NII(x)=R–P–6aq–q(x–2a);
NII(2a)=318H;
NII(3a)=318–84=234H.
Будуємо епюру N(x) по знайденим значенням. Для епюри напружень обчислюємо напруження на граничних перерізах.
Н/мм2; 
Н/мм2;
Н/мм2; 
Н/мм2;
Н/мм2;
Будуємо епюру σ. Відкладаємо значення σ´103 Мпа.
Задача 1.2.
Визначення зусиль і переміщень у статично визначеній стержневій конструкції.
Дано:
Е=2·105 Мпа, l2=0,8 м, l1=0,6 м, l3=0,9 м, Р=10 кН;
У стержневій конструкції, яка навантажена силою Р=10 кН, слід визначити зусилля, переміщення і підібрати номер рівнополочного кутка (ГОСТ 8509-72).
Розв’язок.
Направивши реакції стержнів N1, N2, N3 вздовж їх повздовжніх осей, розглянемо три умови рівноваги статики.
Використовуємо основну форму рівноваги плоскої системи сил.
SFkx=N3+N2sin30°-N1sin30°=0;
SFky= – P-N1cos30°-N2cos30°=0;
SMAi=-P(AB)-N3(BC)=0.
З останнього рівняння отримаємо:
КH.
Знак “-” говорить про те, що стержень 3 в дійсності стиснутий, а не розтягнутий.
N2-N1= -2N3=34,6
N2+N1= -11,6
2N2=23кH; N2=11,5кН.
N1=-11,6 -11,5= -23,1 кН.
Стержень “1” стиснутий.
По максимально навантаженому стержню |N1|= Nmax=23,1kH визначимо мінімально допустиму площу перерізу.
См2.
По сортаменту ГОСТ 8509-72 підбираємо куток з розміром 28´28´3 та площею поперечного перерізу F=1,62 см2.
Процент недовантаження Dσ%=
КH/см2.
Згідно з законом Гука для абсолютних видовжень визначаємо видовження (укорочення) стержнів
См= –0,42мм.
см= –0,28мм.
см= –0,48мм.
Задача 2.1.
Розрахунок балки на згинання.
Для заданої балки потрібно виконати:
1. Побудувати епюри поперечних сил і згинаючих моментів;
2. підібрати по ГОСТ двотавровий переріз з умови міцності, якщо допустиме напруження [σ]=150Мпа.
3. Підібрати прямокутний переріз (h=2b), вважаючи балку дерев’яною ([σ]=10Мпа).
4. Побудувати епюру нормальних напружень у найбільш небезпечному перерізі (П2).
5. Для балки по П3 визначити максимальне дотичне напруження.
Прийняти а=3,5м, Р=20 кН, q=20кН/м, М=90кНм.
Розв’язок.
1. Реакції опор з умов рівноваги статики.
SМВ=0; Р×14+М-RA×7=0; RA=2Р+
=52,86кН
SМА=0; Р×7+М+RВ×7-2aq×7=0; RB=2aq-Р-=107,14кН
Перевірка SFky=0; RA+RB-Р-=0
52,86+107,14-140=0. Реакції знайдені вірно.
2. Епюру поперечних сил будуємо по характерним перерізам.
QAмв=- Р=- 20кН
QAпр=- Р+RA=-20+52,86=32,86кН
QВмв=- Р+RA – aq=20+52,86 – 70= –37,14 кН
QВпр=aq=70 кН.
Будуемо епюру Q, масштаб μQ=20 кН/см.
3. Моменти у характерних перерізах.
На кінцях балки М=0.
Мд, лів=- Pa=- 70кНм;
Мд, лів=- Pa – М=- 70- 90=- 160кНм;
МА=- P×2а – М=- 140- 90=- 230кНм;
МС=-2aq×а+RВ×а=- 140×3,5+108×3,5=- 133кНм;
МВ=-aq×0,5а=- 70×1,75=- 122,5кНм.
Знаходимо Хекстр.=
М.
В цьому перерізі Мекстр.=107,14×1,852-20(3,5+1,852)×
КНм.
Будуємо епюру згинаючих моментів. Масштаб μМ=50 кНм/см.
На ділянках, де q¹0, епюра М – парабола, бо 
.
4. Найбільш небезпечним перерізом є переріз з моментом |Mmax|=230кНм.
Виходячи з умов міцності 
, отримуємо:
См3.
По таблиці для двотаврових балок (ГОСТ 8239-72) підбираємо номер профілю №50 (Wx=1589см3, h=50см, b=17см).
5. Для балки прямокутного перерізу 
; для нашого випадку h=2b, тоді
.
З умов міцності маємо:
См; b=32,5см.
6. Для стальної балки:
Кн/см2=145 Мпа.
Будуємо епюру нормальних напружень у найбільш небезпечному перерізі.
7. Максимальне дотичне напруження буде в перерізі В (праворуч), де Q=Qmax=70кН. Для прямокутного перерізу
Задача 3.1.
Визначення переміщень в статично визначеній балці.
Дано : Еj= 5 × 103 кНм2; а= 3 м; Р= 30 кн; q=10 кн/м
Визначити методом Мора переміщення точок С і Д.
Розв’язання.
1. Реакції опор
ÅМВ= – RA× 6 – P × 3 + 6q × 3 = 0; RA = 
= 15 кн
ÅМА= – RВ× 6 – P × 3а – 6q × 3 = 0 RВ = 
= 75 кн
Перевірка: åFxy=0; RA+RВ –P – 6q=0
15+75-30-60=0 Реакції знайдено вірно.
2. Будуємо епюру Q по характери перерізом
Q А=15 кн; Q Влів.=15-60= -45 кн
Q Впр = Р =30 кн
3. Будуємо епюру М
МА=МД=0; Мс=RA × 3= 3q ×1.5=0; МД=-3З=-90 кнм
Посередині АС Мх=1,5м=15 × 1,5 – 10 × 1,5 × 0,75=11,25 кнм
На ділянці АВ епюра М параболічна, а на ділянці ВД – прямолінійна.
4. Будуємо допоміжні епюри Мс і МД зчипальних моментів від дії одиничних сил, прикладених в точках С і Д відповідно.
6. Користуючись способу Верещагіна, вираховуємо вертикальне переміщення точки С. 
= 
= -2,1 × 10-3м=-2,1 мм
Знак « -» вказує, що точка С піднімається, а не опускається.
=
= 80,8 × 10-3м=80,8мм
Точка Д дійсно опускається.
Задача 4.1.
Розрахунок один паз статично невизначеної ферми.
Дано: З=60 кн; a=750; h=1,2
Розрахувати зусилля у стержнях один раз статично невизначеної ферми.
Розв’язання.
На рис. «б» показано еквівалентну схему, де стержень «6» замінено невідомою реакцією Х1.
На рис. «в» наведена основна сис, де усунуто стержень «6» і діє сила Р.
На рис. «г» показана сис, в якій усунута зовнішня сила Р, але діє одинична сила Х1=1 в напрямі стержня «6» .
Канонічне рівняння методу сил 
=0
Коефіцієнти 
і 
для стержневої системи, де діють тільки осьові зусилля, визначаються за формулою Максвелла
=
; = 
;
Де Ni – зусилля в стержнях, знайдені в схемі «г»
Npi – зусилля у стержнях, вирахувані в основній системі ( рис. «в»)
Тоді Х1 = = 
; Розрахунок зусиль Ni і Npi виконуємо методом вирізання вузлів.
Реакції опор в системі «в»
S Fix = – xa+ P cos750 =0 xa= 60 × 0.258 = 15.5 кн
S Fiу = Р sin 750 + RB – YA=0
S MA= RA × a – P cos750 ×a=0 RB=15,5 кн
YA= P sin 
+ RB=15,5 + 60 × 0,96 = 73,1 кн
Далі з умови рівноваги вузла В «с» маємо Np3=0 Np1=0
Розглядаємо рівновагу вузла В.
У RB=15,5кН
NP2 Х
В NP4
RB= Np4 sin 450 Np4= 
=22кн
Стержень “4” – стиснутий Np4=22 кн Np2= 15,5 кн
З умови рівноваги вузла Д маємо
Np1= P sin 750 + Np4 cos 450= 60×0,96+15,5=73,1 кн
Усхемі «г» знаходимо реакції опор ха=2 RB=1 YA=1
Зусилля в стержнях N5=1; N3=0; N2=1; N4=
; N1=1; N6=1
Отримані значення заносимо в таблицю.
|
№ Стержня |
Довжина Стержня |
Ni |
Npi |
Ni Npili |
Ni2li |
|
1 |
A |
1 |
73,1 |
73,1a |
A |
|
2 |
A |
1 |
15,5 |
15,5a |
A |
|
3 |
A |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
A |
– |
-22 |
44a |
A |
|
5 |
A |
1 |
0 |
0 |
A |
|
6 |
1,2a |
1 |
0 |
0 |
1,2a |
Знаходимо невідому реакцію
Знак “-“ вказує, що стержень “6” не розтягнутий, а стиснутий.
Зусилля в інших стержнях знаходимо у відповідності з еквівалентною схемою “б”, де х1 відоме (х1=19кН).
З умови рівноваги знаходимо реакції опор
S Fкx = P cosa-х1-хА = 0; хА=60·0,258-19 = -3,5 кН.
ХА спрямована вправо
SМА= – P cos a+x1a+RBa=0
RB=Pcos -x1=15,5-19=3,5кн
S Fку=- уА+Рsin75 – RB=0
YA=60 0.96 – 3,5=54,1 кн
Користуємось методом вирізання
Вузол С N3=0 N5= -19 кн
Вузол В N2=-3,5 кн N4= 3,5 =4,9 кн
Вузол А N1=54,1 кн
Відповідь: N1=54,1 кн N2=-3,5 кн N3=0 N4= 4,9 кн N5= -19 кн
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ.
Опір матеріалів вивчає міцність, жорсткість та стійкість елементів машин та споруд. На відміну від теоретичної механіки опір матеріалів має справу з реальними, (деформованими) тілами і розглядається як розділ механіки деформованих тіл.
В опорі матеріалів розрізняють зовнішні сили та внутрішні сили пружності. Зовнішні сили бувають зосереджені та роздільні, постійні та змінні, статичні та динамічні. Під впливом зовнішніх сил в тілі з’являються сили, які перешкоджають деформації. Вони прагнуть повернути частки тіла в початкове положення – ці сили внутрішньої пружності.
Величина внутрішніх сил пружності, які припадають на одиницю площини перерізу, називається напруженнями.
При дії зовнішніх сил виникають деформації тіла – це здібність тіла змінювати свої розміри та обрис.
Розрізняють такі види напруженого стану: розтяг, стиснення, вигин, зрушення (зріз), зминання, кручення. Буває складний напружений стан.
Напруження бувають нормальні σ (як правило, перпендикулярні площині розрізу) та дотичні τ (які знаходяться в площині розрізу).Якщо на взірець нанести по його довжині дві точки А та В, відстань між якими позначимо l, а потім прикладемо дві сили F, які розтягують взірець, то взірець подовжується до розміру l1;
∆l= l1 – l – абсолютне подовження або абсолютна деформація (рисунок 6.1).
Для характеристики матеріалів іноді незручно використання величини А/, тому використовують відносну деформацію: ε=∆l/l
Для визначення напружень в зацікавленому місці взірця розрізаємo його та відкинуту частину заміняємо напруженням розтягу:
Σ = F/А в Па,
Де А – площа розрізу, м2;
F – розтягуюча сила, Н.
Коли діють зовнішні сили, в матеріалі взірця виникають і напруження і деформації. Між ними є залежність в виді закону Гука: відносна деформація є пропорційна напруженням σ:
Σ = Е * ε,
Де Е – модуль пружності першого роду, Па [для сталі Е = (2… 2,15)-105 МПа]; величина Е – це те напруження, при якому матеріал взірця здатний здійснювати опір деформації при розтягу та стисненню.
Закон Гука можна записати в іншій формі: σ = Е-ε; 
; 
(величина АЕ називається жорсткістю): при розтягу абсолютне подовження прямопропорційне навантажувальній силі F та довжині l і оберненопропорційна жорсткості.
Абсолютна поперечна деформація взірця.
∆d = d1 – d,
Відносна:
Ε’ = ∆d / d, де d1 – поперечний розмір взірця після розтягу.
Відношення відносної поперечної деформації взірця ε’ до відносної поздовжньої деформації ε називається коефіцієнтом Пуассона:
۷ = ε’/ ε (для металів ۷ = 0,25… 0,35).
Для здійснення нормальної роботоздaтності деталей необхідно, щоб фактично виникаючі напруження розтягу або стиснення не перебільшували деякі безпечні або допускні напруження, які позначаються символом [σ], – це таке напруження, при якому забезпечується достатня міцність та довговічність:
[σ] = σ пр/[S],
Де σ пр – граничне напруження матеріалу, Па;
Σ пр = σ т – для пластичних матеріалів при статичних напруженнях (де σ т – границя текучості, Па);
Σ пр = σ в – для крихких матеріалів при статичних напруженнях (де σ B – границя міцності або тимчасовий опір),
Σ пр = σ -1 – для будь-яких матеріалів при циклічних змінах навантаження [де σ -1 = (0,4…0,5) σ в – для сталей та σ -1.= (0,25…0,5) σ в – для кольорових металів];
[S] – допускний коефіцієнт запасу міцності, залежить від властивості матеріалу, характеру діючих навантажень, умов експлуатації та інше; приймають в різних галузях машинобудування для пластичних матеріалів [S]=2… 4, для крихких – [S]=4… 6.
Умова мiцності: σmах ≤ [σ], умова жорсткості: 
, де σmax –
Максимальне напруження, Па; [А/] – допускна абсолютна деформація, м.
Тому розрахунковим рівнянням на розтяг та стиснення буде: 
На рисунку 6.2 показана діаграма розтягу взірця [тобто залежності F=f(∆l) або σ = f(ε)] та її характерні точки:
– σ п – границя пропорційності (до точки А) – це найбільше напруження,
до якого деформації збільшуються пропорційно напруженням (діє
закон Гука);
– σ у границя пружності (до точки В) – це напруження, збільшення якого
викликає помітні залишкові деформації (до 0,005 % після точки В);
– σ т – границя текучості (від точки С до Д) – це напруження, при яких
деформація збільшується без збільшення напруження;
– σ B – границя міцності або тимчасовий опір (в точці К) – не відношення
максимальної сили Fmax, яку здібний витримати взірець, до початкової
площини його поперечного перерізу А0 (величина σ в для пластичних
матеріалів виявляється умовною);
– σр – границя руйнування ( в точці R)
Пластичність матеріалу характеризується, крім ε, що і відносним залишковим звуженням взірця при розтягу:
Ψ=(А0 – А1) / А0
Де А1 – площина поперечного перерізу в найбільш тонкому місті шийки розриву взірця.
3. Завдання для закріплення та самоконтролю.
1.Що вивчає розділ “Опір матеріалів”?
2.Класифікація сил в даному розділі. Що таке напруження?
3.Як діють на тіло зовнішні сили?
4.Які види напруженого стану відомі в розділі?
5.Абсолютна та відносна деформація взірця.
6.Чому дорівнює нормальне напруження розтягу та стиснення? Закон Гука.?
7.Що таке коефіцієнт Пуассона?
8.Що таке модуль пружності першого роду матеріалу взірця?
9.Що таке допускне напруження?
10.Як визначається допускне напруження?
11.Які умови міцності та жорсткості матеріалу деталей?
12.Перелікуйте характерні точки діаграми розтягу взірця.
13. Дайте визначення кожної характерної точки діаграми розтягу взірця.
Ви прочитали: "Розтяг та стиснення матеріалу механізмів."Читати далі