Приклад виконання титульного аркушу
 |
МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ
СУМСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА «ТЕХНОЛОГІЧНОГО ОБЛАДНАННЯ ХАРЧОВИХ ВИРОБНИЦТВ»
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
ПО ДИСЦИПЛІНІ «ОСНОВИ НАУКОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ І ТЕХНІЧНОЇ ТВОРЧОСТІ»
Виконав студент групи -1
Іванов С. С.
Залікова книжка СМХ – 134
Варіант
Перевірив викладач
Радчук О. В.
Суми 2009
Приклад виконання Завдання 1 контрольної роботи (для варіанта №25)
1. Метод найменших квадратів
Цей метод є одним з найпоширеніших прийомів статистичної обробки експериментальних даних, що відносяться до різних функціональних залежностей фізичних величин одна від одної. У тому числі, він застосовний до лінійної залежності і дозволяє одержати достовірні оцінки її параметрів a і b, а також оцінити їхні похибки. Розглянемо статистичну модель експерименту, у якому досліджують лінійну залежність. Нехай проведено n парних вимірів величин x і y : xi, yi, де i = 1, … , n. По експериментальних даних необхідно знайти оцінки параметрів a і b, а також оцінки їх дисперсій sa2і sb2. Про природу експериментальних похибок зробимо Наступні припущення.
1. Значення xi відомі точно, тобто без похибок.
Звичайно, у реальному експерименті таке припущення навряд чи виконується. Швидше за все, похибки Dxi розподілені нормально і можуть бути перераховані в похибки Dyi. Це викликає збільшення дисперсії s2 розподілу величин yi, що повинно враховуватися в процесі обробки даних методом найменших квадратів. Як показано нижче, так і відбудеться, а значить, не буде помилкою вважати xi відомими точно.
2. Розподіли величин yi взаємно незалежні, мають ту саму дисперсію s2 і відповідають нормальному закону. Розподіли yi мають середні значення 
, що збігаються з точним значенням функції axi+b. Це припущення ілюструє рис.8.4.
Рис.8.4. Ілюстрація моделі методу найменших квадратів.
Розподіл щільності імовірності величини yi навколо точного значення axi + b задає вираз:
Щільність імовірності реалізації отриманих експериментальних даних L(y1, y2, ……., yn) , що називається функцією правдоподібності, визначають через добуток щільностей імовірностей розподілів окремих вимірів, тому що розподіли yi незалежні:
(8.4)
Натуральний логарифм цієї функції:
.
Оцінками a, b, s2 буде правильним вважати значення, при яких L і lnL максимальні, тобто реалізується найбільша імовірність одержання набору експериментальних даних. Екстремум функції lnL знаходять диференціюванням:
Після диференціювання система рівнянь щодо шуканих параметрів набуде вигляду:
,
, (8.5)
.
Два перших рівняння в (8.5) є не що інше, як умова мінімуму виразу,
(8.6)
Складеного із суми квадратів відхилень експериментальних даних від точної лінійної залежності, у зв’язку з чим описуваний метод і одержав назву методу найменших квадратів. Вирішивши (8.5), знаходимо
(8.7)
Відповідно до висновків математичної статистики, для одержання незміщеної щодо точного значення оцінки дисперсії рішення, знайдене з (8.5), необхідно домножити на 
(8.8)
Оцінимо тепер дисперсії параметрів. Перетворимо вирази для a:
, де 
.
Після перетворення видно, що a отримується як лінійна комбінація взаємно незалежних величин yj, тому що коефіцієнти kj задані точно – відповідно до пункту 1 припущень про статистику досліджуваних величин. Отже, параметр a розподілений нормально, а його дисперсія sa2являє собою лінійну комбінацію дисперсій величин yj з коефіцієнтами kj2 – ця властивість додавання нормальних розподілів уже зустрічалася при розгляді похибок непрямих вимірів.
. (8.9)
Перетворимо вирази для b:
.
Параметр b також нормально розподілений. Його дисперсія:
.
З (8.9) виразимо s 2і підставимо в попередній вираз:
,
.(8.10)
Іноді при обробці лінійної залежності необхідно знайти координату точки перетинання графіком осі x:
Відповідна дисперсія
.
Для практичних розрахунків методом найменших квадратів зручно використовувати видозмінені вирази, що отримуються при введенні наступних величин:
,
,
.
У такому випадку:
,
(8.11)
:
.
Вирази (8.11) зручні і для прямих розрахунків на калькуляторі, і для програмування обчислень при використанні комп’ютера. До речі, багато прикладних комп’ютерних програм містять метод найменших квадратів. Часто після введення експериментальних точок вони будують графік залежності і відразу автоматично обробляють її для визначення оцінок параметрів і їх похибок.
На закінчення цього розділу застосуємо вирази методу найменших квадратів (8.11) до обробки даних, що містяться в табл.8.2.
Одержимо:
=2,575·10-3
=2324
a=R=916
s2=15,1
sa2=3405
sa=sR=58
T(0,68; 7)=1,1 (див. розділ 9)
DR=58·1/1=64 Ом
R=(0,92±0,06)·103 Ом
При порівнянні результату методу парних точок і результату методу найменших квадратів можна зробити висновок про їх досить гарний збіг. Звичайно, мова йде тільки про порівняння в межах похибки результатів, що у методі найменших квадратів оцінена в півтора рази менше.
Читати далі