З (9.6) випливає, що загальне середнє може бути представлене як лінійна комбінація незалежних нормальних розподілів величин I з множниками

, у такому випадку:.

Виходить, загальне середнє також розподілене нормально, а його дисперсію Знаходять через дисперсію s2i:

. (9.7)

Отримані вирази легко перевірити для випадку, коли величини Являють собою результати одного багаторазового виміру = xi, а їх дисперсії s2i відносяться до загального розподілу величини x і рівні між собою: s2i = s2x. Тоді і , як уже було отримано для результату прямого багаторазового виміру в розділі 4.

Вище дисперсії s2iвважалися заданими точно. Тільки тоді (9.7) дає точне значення . Замість дисперсій s2iу виразах (9.6) і (9.7) можна використовувати похибки остаточних результатів Dxi, обчислені за допомогою коефіцієнтів Стьюдента для заданого значення довірчої імовірності (однакової для всіх результатів). У цьому випадку (9.7) буде задавати верхню оцінку похибки загального середнього Dx для того ж значення довірчої імовірності.

9.4 Похибки методу найменших квадратів

У розділі 8 описано застосування методу найменших квадратів для оцінювання параметрів лінійної залежності y = ax + b. Оцінки параметрів a і b нормально розподілені, а значить, для знаходження відповідних довірчих інтервалів також необхідно використовувати коефіцієнти Стьюдента. Відмінність від випадку прямого багаторазового виміру полягає в тому, що застосовують коефіцієнти t(a, n-1), де n – кількість парних вимірів. Викликано це тим, що в методі найменших квадратів з експериментальних даних знаходять не одну величину (як, наприклад , для прямого виміру), а дві – a і b. Зв’язок між ними зменшує кількість незалежних випадкових змінних, що складаються в розподіл Стьюдента.

Складніше перевірити справедливість гіпотези про те, що експериментально зареєстрована залежність є лінійною. Фактично мова йде про Верифікацію (перевірку справедливості) використовуваного модельного опису. Звернемося до виразу (8.6), що задає залишкову суму квадратів

,

Де в якості a і b використані їхні експериментальні оцінки. Величини yi нормально розподілені навколо axi+b з дисперсією s2.У статистиці вважається, що величина S/s2 , складена із суми квадратів незалежних нормально розподілених величин, підкоряється розподілу c2щільність імовірності якого

, (9.8)

де 0<c2<¥ , а m = n – 3 (n – кількість парних вимірів). Вид розподілу показаний на рис.9.3. Для нього характерний збіг середнього значення й індексу m.

Рис.9.3. c2-розподіл.

Аналіз гіпотези про справедливість інтерпретації експериментальної залежності, як лінійної, починають із уведення рівня значимості a, що задає інтервал від 0 до c2(n, a) , у який величина S/s2 попадає, якщо гіпотеза справедлива. Для обчислення c2(n, a) необхідно вирішити рівняння

Величини c2(n, a) приведені в табл.3 Додатків.

Якщо нерівність Не виконана, то гіпотеза про лінійність відкидається. Разом з тим, можливі інші причини недотримання нерівності. Наприклад, наявність в експерименті систематичних похибок, чи невиконання припущення про нормальний розподіл величин yi навколо axi+b, чи присутність не рівних між собою дисперсій нормально розподілених величин yi. Тому проведення порівняння по границі інтервалу c2(n, a)може стати початком більш детального аналізу експериментальних даних і експерименту в цілому.

9.5. Статистичний підхід до перевірки гіпотез

Вище розглянуті випадки перевірки конкретних гіпотез, що досить часто зустрічаються в реальному експерименті. Однак гіпотез, що вимагають конкретної перевірки, значно більше – як поступати в інших випадках? Існуючий загальний підхід зводиться до наступного. На основі експериментальних даних складають деяку характеристичну функцію z, що має відому статистику. Виходячи з використовуваної моделі і гіпотези, що перевіряється, розраховують розподіл цієї ρ+(z) , виконане для z, якщо гіпотеза справедлива. Якщо ж гіпотеза несправедлива, то z має інший розподіл ρ-(z), що також можна розрахувати для конкретної моделі. Ілюстрацією служить рис.9.4.

Рис.9.4. Розподіл характеристичної функції z для конкуруючих гіпотез.

Дані експерименту використовують для обчислення конкретного значення характеристичної функції z0, що відповідає виконаним вимірам. Можливе значення z0 зазначене на рис. 9.4. Штрихуванням позначені площі під кривими, рівні імовірності реалізації значення z0, коли гіпотеза, що перевіряється, справедлива (праворуч) чи несправедлива (ліворуч). Якщо значення z0 досить велике, як на малюнку, то результат можна інтерпретувати подвійно. По-перше, як підтвердження справедливості первісної гіпотези, супроводжуваного реалізацією вкрай малоймовірної події. По-друге, як спростування гіпотези, що більш імовірно, а виходить, більш правдоподібно. Попередні питання цього розділу стосувалися побудови тільки одного розподілу r+(z), тому виявилося необхідним увести поняття довірчої імовірності, чи рівня значимості, що задавав довірчий інтервал, що відповідають реалізації можливих значень z. При такому підході гіпотеза розцінюється справедливою, якщо для розумного рівня значимості значення характеристичної функції, що описує проведений експеримент, укладається в довірчий інтервал.

Реферати :