Рис.9.2. До одержання розподілу Стьюдента.

Процедура одержання розподілів зводиться до побудови відповідних гістограм, як це описано в розділі 3. Розподіл r(x) будують з повного набору результатів, а r(, n)– тільки з набору , причому в обох випадках . У межі середнє значення розподілу r(,n) прямує до нуля, а його дисперсія – до . Перебудуємо отримані розподіли в одному масштабі, для чого введемо нові змінні: і . Розподіл r(t’)виявиться нормальним розподілом з нульовим середнім й одиничною дисперсією, а r(t, n) – розподілом Стьюдента, що формується через накладення статистики оцінки на Гаусову статистику величини . Саме ці розподіли приведені на рис.9.1.

Якщо тепер порівняти величину t, введену в (9.1), і величину t, використану в проведеному розгляді, то можна помітити, що в (9.1) замість Використовується –x0 (=x0 при ). Однак статистика величини не може залежати від лінійного зсуву координати по осі x, а виходить, величина t у (9.1) також розподілена по Стьюденту.

Щільність імовірності розподілу Стьюдента описує вираз

, , (9.2)

де n – кількість проведених вимірів, а m>0.

Знаючи r(t, n), не є складністю обчислити інтервал [-t(a, n), +t(a, n)], у який величина t потрапить із заданою імовірністю a. Для цього необхідно вирішити рівняння

.

Імовірність a визначає так званий Рівень значимості .

Якщо значення попадає в зазначений інтервал, то це свідчить на користь справедливості гіпотези про збіг І x0 при рівні значимості a. Чим більше a, тим ширший інтервал, тим більша імовірність знайти в ньому величину t, що відноситься до експерименту при =x0 . Знайдемо інтервал можливої зміни величини . Скористаємося

,

Звідки. . (9.3)

При влученні заданого значення x0 у знайдений навколо інтервал гіпотезу про збіг І x0 слід розцінювати як справедливу для рівня значимості a.

Зіставивши (9.3) з (4.6), можна допустити, що рівень значимості є ні чим іншим, як довірчою імовірністю, а розрахований інтервал можливої зміни x0 – довірчим інтервалом. Тоді t(a, n) – коефіцієнт Стьюдента. У цих термінах картина проведеного порівняння І x0 виглядає так. Якщо при порівнянні І x0 значення x0 попадає в довірчий інтервал навколо, то статистичним висновком є висновок про збіг порівнюваних величин з довірчою імовірністю a. Як уже відзначалося, у вимірах прийнято використовувати імовірність a=0,68, у границі при великих n, що задає інтервал навколо . Для підвищення вірогідності порівняння використовують рівень значимості a=0,997, що визначає більш широкий інтервал, у межі, що прямує до ±3.

Для малих n за похибку прямого багаторазового виміру величини x зазвичай приймають Dx = t(a, n), як і пропонувалося під час обговорення похибок прямих вимірів. Саме в інтервалі, що задається Dx, можуть виявитися точні величини x0, що збігаються з результатом виміру . У випадку непрямого виміру результати прямих вимірів визначають похибку результату непрямого виміру. При цьому необхідно вибрати одинаковий рівень значимості для результатів всіх прямих вимірів, що переноситься на рівень значимості результату непрямого виміру.

9.2. Перевірка гіпотези про збіг двох незалежних середніх значень

Розглянемо наступну ситуацію, що часто зустрічається. З двох незалежних експериментів отримані дві групи результатів багаторазових вимірів x1, x2,……., xn1 і y1, y2,….yn2 нормально розподілених величин x і y. Після обробки знайдені оцінки , та , . Перевіряють гіпотезу про те, що =. Уведемо нову величину

. . (9.4)

При справедливості рівності =для і встановлено, що при кінцевих значеннях n1 і n2 розподіл величини t близький до розподілу Стьюдента, у якого

(9.5)

При рівні значимості a гіпотеза про збіг є підтверджена, якщо , чому відповідає довірча імовірність a.

9.3. Загальне середнє

Експериментатору доводиться зіштовхуватися з низкою проблем, що виникають через різну точність виконання вимірів. Наприклад, є набір результатів незалежних вимірів однієї і тієї ж постійної фізичної величини, отриманих у різних експериментах. Природне бажання врахувати всю наявну інформацію, щоб знайти більш точне значення шуканої величини. Як це зробити?

Допустимо, що розглядають n серій результатів незалежних багаторазових вимірів нормально розподіленої величини x, у кожній з котрих обчислені середнє І дисперсія середнього s2i (i=1, 2,……, n), причому дисперсії вважають відомими точно. По всіх цих даних необхідно знайти загальну оцінку середнього (загальне середнє) і відповідну дисперсію . Для нормального розподілу величин Навколо Щільність імовірності:

.

Щільність імовірності спільної реалізації експериментальних даних, чи функція правдоподібності:

Логарифм функції правдоподібності:

.

Максимум функції правдоподібності, що співпадає з максимумом її логарифма, відповідає найбільшій імовірності одержати в експерименті наявні дані багаторазових вимірів. Аргументом функції правдоподібності є , тому її максимум знаходять диференціюванням:

.

Отримане рівняння визначає найбільш ймовірне значення шуканої фізичної величини

. (9.6)

Цей результат задає загальне середнє всіх I, при обчисленні якого враховують точність кожного виміру, обернено пропорційну дисперсії s2i. Відбувається як би «зважування» усіх результатів для визначення їх ролі в загальному середньому, котре з цієї причини називають ще Середнім зваженим.