Для перевірки плану на оптимальність використовують систему оцінок (потенціалів) рядків і стовпчиків, що розраховуються за правилом: для будь-якої заповненої клітинки сума потенціалів відповідного рядка і стовпчика повинна дорівнюватися оцінці (вартість перевезення одиниці вантажу або відстань) цієї клітини.

Ui +Vj =Cij

Де: Cij – оцінка клітинки;

I – рядки (I = 1, 2, … , M),

J – стовпчики ( J=1, 2, … , H)

Ui – оцінка I–го рядка (I = 1, 2, … M)

Vj – оцінка J–го стовпця (J = 1, 2, …

H)

Тобто, якщо відомий потенціал Ui, То Vj=Cij–Ui, а якщо відомий Vj, то Ui=Cij – Vj . При цьому один з рядків або один з стовпчиків отримує довільну оцінку, а оцінки останніх рядків і стовпчиків треба розрахувати за вказаними формулами.

Нехай U1 =0, тоді потенціали першого та другого стовпчиків будуть становити:

V1=C11 –U1 = 6-0 = 6 для В1

V2=C12 –U1 = 4-0 = 4 для В2

Тепер можна визначити потенціал другого рядка:

U2 = C22 – V2 = 17 – 4 = 13

Визначимо потенціали для В3 , В4 І Вфікт:

V3=C23 –U2 = 28 – 13 = 15 для В3

V2=C24 –U2 = 3 – 13 = -10 для В4

V2=C25 –U2 = 0 – 13 = -13 для Вфікт

Тепер можна визначити потенціал А3:

U3 = C35 – V5 = 0 – (-13) = 13

В усіх зайнятих клітинах умова оптимальності виконується, а для вільних клітин виконуються розрахунки по перевірці плану на оптимальність :

Для Х13 сума потенціалів U1 + V3 = 0 + 15 = 15, що £ 15

Для Х14 сума потенціалів U1 + V4 = 0 + (-10) = -10, що £ 19

Для Х15 сума потенціалів U1 + V5 = 0 + (-13) = -13, що£ 0

Для Х21 сума потенціалів U2 + V1 = 13 + 6 = 19, що > 13

Для Х31 сума потенціалів U3 + V1 = 13 + 6 = 19, що > 5

Для Х32 сума потенціалів U3 + V2 = 13 + 4 = 17, що £ 20

Для Х33 сума потенціалів U3 + V3 = 13 + 15 = 28, що > 6

Для Х34 сума потенціалів U3 + V4 = 13 + (-10) = 3, що £ 10

Отже, даний план перевезень не є оптимальним, тому що в клітинках Х21, Х31, Х33 не виконується вимога Ui + Vj £ Cij. Необхідно перейти до наступного плану.

Для цього вибирається клітина, в якій сума потенціалів найбільш перевищує оцінку, це клітина Х33 і вона називається клітиною перерахунку.

Починаючи з клітини перерахунку будується по зайнятим клітинам фігура перерахунку (замкнутий контур, вершини якого знаходяться в зайнятих клітинах), яка може мати вигляд (деякі варіанти фігури):

Клітини, які ввійшли до фігури перерахунку позначаються по черзі знаками “+”, “-”,”+”, “-”, … , починаючи з клітини перерахунку.

Заповнюється нова транспортна таблиця:

–  кількість вантажу в клітинах, які не ввійшли до фігури перерахунку переноситься в нову таблицю без змін;

–  для клітин фігури перерахунку: кількість вантажу в клітинках зі знаком “+” збільшується, а в клітинках зі знаком “-“ зменшується на одну і ту ж величину, а саме, на найменшу кількість вантажу у клітинках, позначених знаком “-“.

Виправлений таким чином план перевезень записується у відповідну таблицю і досліджується на оптимальність, як і попередній.

При такому плані перевезень загальна кількість тонно-кілометрів буде становити:

FMin=14*6+12*4+7*17+5*3+21*0+20*6+25*0=386 т-км.

Обчислимо потенціали за правилом, описаним вище, і перевіримо складений план на оптимальність.

Для вільних клітин зробимо розрахунки:

Для Х13 сума потенціалів U1 + V3 = 0 + (-7) = -7, що £ 15

Для Х14 сума потенціалів U1 + V4 = 0 + (-10) = -10, що £ 19

Для Х15 сума потенціалів U1 + V5 = 0 + (-13) = -13, що £ 0

Для Х21 сума потенціалів U2 + V1 = 13 + 6 = 19, що > 13

Для Х23 сума потенціалів U2 + V3 = 13 +(-7) = 6, що£ 28

Для Х31 сума потенціалів U3 + V1 = 13 + 6 = 19, що > 5

Для Х32 сума потенціалів U3 + V2 = 13 + 4 = 17, що £ 20

для Х34 сума потенціалів U3 + V4 = 13 + (-10) = 3, що £ 10

Даний план перевезень не є оптимальним, тому що в клітинках Х21, Х31, не виконується умова оптимальності Ui + Vj £ Cij.

Вибирається клітина Х31, починаючи з неї будується фігура перерахунку.

Наступна транспортна таблиця має вигляд:

При такому плані перевезень загальна кількість тонно-кілометрів буде становити:

FMin=7*6+19*4+5*3+28*0+7*5+20*6+18*0=288 т-км.

Обчислимо потенціали і для вільних клітин зробимо розрахунки по перевірці плану на оптимальність :

Для Х13 сума потенціалів U1 + V3 = 0 + 7 = 7, що £ 15

Для Х14 сума потенціалів U1 + V4 = 0 + 4 =4, що £ 19

Для Х15 сума потенціалів U1 + V5 = 0 + 1 = -1, що > 0

Для Х21 сума потенціалів U2 + V1 = -1 + 6 = 5, що £ 13

Для Х22 сума потенціалів U2 + V2 = -1 + 4 = 3, що £ 17

Для Х23 сума потенціалів U2 + V3 = -1 + 7 = 6, що £ 28

Для Х32 сума потенціалів U3 + V2 = -1 + 4 = 3, що £ 20

для Х34 сума потенціалів U3 + V4 = -1 + 4 = 3, що £ 10

Даний план перевезень не є оптимальним, тому що в клітинці Х15 не дотримується вимога оптимальності Ui + Vj £ Cij. Побудуємо фігуру перерахунку та розрахуємо нову таблицю.

Малюємо фігуру перерахунку та розрахуємо нову таблицю.

Поста-чальники	Споживачі	Запаси	Потенціали, Ui
В1	В2	В3	В4	Вфіктивний
A1		6		4		15		19		0	26	0
		19						7
A2		13		17		28		3		0	33	0
						5		28
A3		5		20		6		10		0	45	0
14				20				11
Потреба	14	19	20	5	46	104
Потенціали, VJ	5	4	6	3	0

При такому плані перевезень загальна кількість тонно-кілометрів буде становити:

FMin=7*6+19*4+5*3+28*0+7*5+20*6+18*0=281 т.-км.

Обчислимо потенціали та для вільних клітин зробимо розрахунки по перевірці плану на оптимальність :

Для Х11 сума потенціалів U1 + V1 = 0 + 5 = 5, що £ 6

Для Х13 сума потенціалів U1 + V3 = 0 + 6 = 6, що £ 15

Для Х14 сума потенціалів U1 + V4 = 0 + 3 = 3, що £ 19

Для Х21 сума потенціалів U2 + V1 = 0 + 5 = 5, що £ 13

Для Х22 сума потенціалів U2 + V2 = 0 + 4 = 4, що £ 17

Для Х23 сума потенціалів U2 + V3 = 0 + 6 = 6, що £ 28

Для Х32 сума потенціалів U3 + V2 = 0 + 4 = 4, що £ 20

для Х34 сума потенціалів U3 + V4 = 0 + 3 = 3, що £ 10

Даний план перевезень є оптимальним, тому що в усіх клітинах таблиці виконується умова оптимальності.

При оптимальному плані перевезень загальна кількість тонно-кілометрів буде становити 281 т.-км.

Так, перевезення вантажу слід організувати таким чином:

–  з пункту А1 необхідно перевезти 19тон в пункт В2 та 7тон в пункт Вфікт;

–  з пункту А2 необхідно перевезти 5тон в пункт В4 та 28тон в пункт Вфікт;

–  з пункту А3 необхідно перевезти 14тон в пункт В1, 20тон в пункт В3 та 11тон в пункт Вфікт.

Задача 4.

Економіко-математична модель оптимізації раціону годівлі тварин.

Умова задачі.

Скласти добовий кормовий раціон для корови живою масою 500кг та надоєм 16л за добу на стійловий період.

В раціоні повинно міститися не менше :

Кормових одиниць	12,6
Обмінної енергії, МДж	148
Сухої речовини, кг	15,8
Перетравного протеїну, г	1260
Сирої клітковини, г	4110
Крохмалю, г	1705
Цукрів, г	1135
Кальцію, г	89
Фосфору, г	63
Магнію, г	25
Калію, г	96
Сірки, г	31
Заліза, мг	1010
Каротину, мг	565

В раціоні повинно бути не менше (в натуральному виразі):

–  концентрованих кормів – 1,5 кг;

–  соковитих кормів – 14 кг;

–  грубих кормів – 10 кг.

Для забезпечення збалансованості раціону слід врахувати співвідношення між окремими кормами:

–  кількість ячменю повинна бути в 3 рази більша кількості інших концентрованих кормів;

–  кількість силосу повинна бути в 2 рази більша кількості інших соковитих кормів;

–  кількість сіна повинна бути в 3 рази більша кількості соломи;

–  кількість сіна співвідноситься до кількості сінажу як 2:1.

Скласти раціон, який буде мати мінімальну вартість.

Корми для розробки економіко-математичної моделі вибрати згідно варіанту, числові дані взяти з таблиці.

Розробити економіко-математичну модель, змінними в якій будуть корми в натуральному виразі, кг (Х1, Х 2, Х 3, …).

В господарстві є наступні корми, з яких необхідно скласти раціон: буряки кормові, морква, сінаж різнотравний, силос кукурудзяний, жом буряковий, сіно лучне у фазі цвітіння, солома пшенична, зерно ячменю, зерно вівса, зерно гороху, макуха соняшникова.

Вміст поживних речовин в 1 кг корму

Показник	Буряки цукрові	Морква	Сінаж Різнотравний	Силос кукурудзяний	Жом свіжий	Сіно лучне у фазі цвітіння	Солома Пшенична	Зерно
Овес	Ячмінь	Горох
Кормові одиниці	0,24	0,14	0,29	0,20	0,12	0,46	0,20	1,00	1,15	1,18
Обмінна енергія, МДж	2,84	2,20	3,44	2,30	1,13	6,59	4,76	9,02	10,5	11,1
Суха речовина, г	230	120	450	250	112	828	846	850	850	850
Перетравлений протеїн, г	7	8	23	14	6	49	5	79	85	192
Сира клітковина, г	14	11	157	75	33	254	364	97	49	54
Крохмаль, г	6	7	15	8	–	–	–	320	485	455
Цукри, г	120	35	23	6	2,5	20	3	25	2	55
Кальцій, г	0,5	0,9	4,9	1,4	1,5	7,2	2,8	1,5	2	2,0
Фосфор, г	0,5	0,6	1,3	0,4	0,14	2,1	0,8	3,4	3,9	4,3
Магній, г	0,4	0,3	1,3	0,5	0,5	1,7	0,8	1,2	1,0	1,2
Калій, г	2,6	5,1	11,7	2,9	0,8	17	7,6	5,4	5,0	10,7
Сірка, г	0,3	0,2	0,9	0,4	0,4	1,7	0,8	1,3	1,3	1,6
Залізо, мг	31	10	208	61	24	287	360	41	50	60
Каротин, мг	0,3	54	25	20	–	15	4	1,3	0,3	0,2
Ціна 1 кг корма, грн.	0,3	0,5	0,16	0,06	0,04	0,18	0,05	0,22	0,26	0,32

Рішення.

Змінними задачі є кількість кормів по видах в раціоні:

Х1 – кількість цукрових буряків;

Х2 – кількість моркви;

Х3 – кількість сінажу;

Х4 – кількість силосу;

Х5 – кількість жому;

Х6 – кількість сіна;

Х7 – кількість соломи;

Х8 – кількість зерна вівса;

Х9 – кількість зерна ячменю;

Х10 – кількість зерна гороху.

На ці змінні накладено 20 обмежень, які можна поділити на три групи:

1)  обмеження (з 1-го по 14-те), які забезпечують необхідну мінімальну кількість відповідної поживної речовини в раціоні;

Так перше обмеження стосується вмісту кормових одиниць в раціоні:

0,24X1+0,14X2+0,29X3+0,2X4+0,12X5+0,46X6+0,2X7+1X8+1,15X9+1,18X10>=12,6; де

Змінні Х 1, Х 2, …, Х 10 – кількість кормів в раціоні по видам (коефіцієнти при цих змінних – це вміст кормових одиниць в 1 кг відповідного корма);

12,6 – біологічна норма вмісту кормових одиниць в раціоні.

Аналогічний структурний вигляд мають обмеження по вмісту інших поживних речовин в раціоні (обмінної енергії, сухої речовини, перетравного протеїну, …)

2)  обмеження (з 15-го по 18-те), які характеризують співвідношення між окремими комами;

15-те обмеження задає співвідношення кількості ячменю до інших концентрованих і має такий математичний вигляд:

1X9-3X8-3X10=0; де:

X9 – кількість зерна ячменю в раціоні;

X8,X10 – кількість зерна вівса та гороху в раціоні;

1 та 3 – коефіцієнти пропорційності.

3)  обмеження (з 19-го по 21-те), які задають нижню межу входження в раціон одного корму або групи кормів.

19-те – обмеження забезпечує мінімальну кількість концентрованих кормів в раціоні:

1X9+1X8+1X10>=1,5; де

X9,X8, Х 10 – кількість вівсу, ячменю та гороху в раціоні.

В якості критерію оптимальності виступає мінімальна вартість раціону:

FMin=0,3X1+0,5 Х 2+0,16X3+0,06X4+0,04X5+0,18X6+0,05X7+0,22X8+0,26X9+0,32X10

Економіко-математична модель оптимізації кормового раціону

(у табличному вигляді).

	Показник	Буряки цукрові	Морква	Сінаж Різнотравний	Силос кукурудзяний	Жом буряковий свіжий	Сіно лучне у фазі цвітіння	Солома Пшенична	Зерно Вівса	Зерно ячменю	Зерно гороху	Тип та розмір обмежень
	Змінні	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10
1.	Кормові одиниці	0,24	0,14	0,29	0,20	0,12	0,46	0,20	1,00	1,15	1,18	>=12,6
2.	Обмінна енергія, МДж	2,84	2,20	3,44	2,30	1,13	6,59	4,76	9,02	10,5	11,1	>=148
3.	Суха речовина, г	230	120	450	250	112	828	846	850	850	850	>=15800
4.	Перетравлений протеїн, г	7	8	23	14	6	49	5	79	85	192	>=1260
5.	Сира клітковина, г	14	11	157	75	33	254	364	97	49	54	>=4110
6.	Крохмаль, г	6	7	15	8				320	485	455	>=1705
7.	Цукри, г	120	35	23	6	2,5	20	3	25	2	55	>=1135
8.	Кальцій, г	0,5	0,9	4,9	1,4	1,5	7,2	2,8	1,5	2	2,0	>=89
9.	Фосфор, г	0,5	0,6	1,3	0,4	0,14	2,1	0,8	3,4	3,9	4,3	>=63
10.	Магній, г	0,4	0,3	1,3	0,5	0,5	1,7	0,8	1,2	1,0	1,2	>=25
11.	Калій, г	2,6	5,1	11,7	2,9	0,8	17	7,6	5,4	5,0	10,7	>=96
12.	Сірка, г	0,3	0,2	0,9	0,4	0,4	1,7	0,8	1,3	1,3	1,6	>=31
13.	Залізо, мг	31	10	208	61	24	287	360	41	50	60	>=1010
14.	Каротин, мг	0,3	54	25	20		15	4	1,3	0,3	0,2	>=565
15.	Співвідношення кількості ячменю до інших концентрованих								-3	1	-3	=0
16.	Співвідношення кількості силосу до інших соковитих	-2	-2		1	-2						=0
17.	Співвідношення кількості сіна до соломи						1	-3				=0
18.	Співвідношення кількості сіна до сінажу			-2			1					=0
19.	Нижня межа концентрованих кормів в раціоні								1	1	1	>=1,5
20.	Нижня межа грубих кормів в раціоні			1			1	1				>= 10
21.	Нижня межа соковитих кормів в раціоні	1	1		1	1						>=14
22.	Цільова функція (вартість раціону), грн.	0,3	0,5	0,16	0,06	0,04	0,18	0,05	0,22	0,26	0,32	Min

Задача 5.

Економіко-математична модель оптимізації структури посівних площ.

Ви прочитали: "Приклад виконана контрольна робота… – Частина 2"
Читати далі