Аналіз і інтерпретація результатів експерименту - №2

,В

, Ом

,Ом

результатів експерименту" title="Аналіз і інтерпретація результатів експерименту" class=""/>

103 Ом2

1-5

32,9

35,81

1088

113

12,8

2-6

45,8

38,22

834

-141

19,9

3-7

44,7

38,65

865

-110

12,1

4-8

36,8

40,88

1111

136

18,5

= 975 Ом,
= 63,3*103 Ом2
.

Для n=4 і довірчої імовірності a=0,68коефіцієнт Стьюдента t(0,68; 4)=1,3 (табл.2 Додатків). Похибка DR=72,6*1,3=94,4 Ом. Остаточний результат R=(0,98±0,09)*103Ом. Точність виміру опору невелика, що свідчить про наявність значних експериментальних похибок.

8.4. Метод найменших квадратів

Цей метод є одним з найпоширеніших прийомів статистичної обробки експериментальних даних, що відносяться до різних функціональних залежностей фізичних величин одна від одної. У тому числі, він застосовний до лінійної залежності і дозволяє одержати достовірні оцінки її параметрів a і b, а також оцінити їхні похибки. Розглянемо статистичну модель експерименту, у якому досліджують лінійну залежність. Нехай проведено n парних вимірів величин x і y : xi, yi, де i = 1, … , n. По експериментальних даних необхідно знайти оцінки параметрів a і b, а також оцінки їх дисперсій sa2і sb2. Про природу експериментальних похибок зробимо Наступні припущення.

1. Значення xi відомі точно, тобто без похибок.

Звичайно, у реальному експерименті таке припущення навряд чи виконується. Швидше за все, похибки Dxi розподілені нормально і можуть бути перераховані в похибки Dyi. Це викликає збільшення дисперсії s2 розподілу величин yi, що повинно враховуватися в процесі обробки даних методом найменших квадратів. Як показано нижче, так і відбудеться, а значить, не буде помилкою вважати xi відомими точно.

2. Розподіли величин yi взаємно незалежні, мають ту саму дисперсію s2 і відповідають нормальному закону. Розподіли yi мають середні значення , що збігаються з точним значенням функції axi+b. Це припущення ілюструє рис.8.4.

Рис.8.4. Ілюстрація моделі методу найменших квадратів.

Розподіл щільності імовірності величини yi навколо точного значення axi + b задає вираз:

Щільність імовірності реалізації отриманих експериментальних даних L(y1, y2, ……., yn) , що називається функцією правдоподібності, визначають через добуток щільностей імовірностей розподілів окремих вимірів, тому що розподіли yi незалежні:

(8.4)

Натуральний логарифм цієї функції:

Оцінками a, b, s2 буде правильним вважати значення, при яких L і lnL максимальні, тобто реалізується найбільша імовірність одержання набору експериментальних даних. Екстремум функції lnL знаходять диференціюванням:

Після диференціювання система рівнянь щодо шуканих параметрів набуде вигляду:

, (8.5)

Два перших рівняння в (8.5) є не що інше, як умова мінімуму виразу,

(8.6)

Складеного із суми квадратів відхилень експериментальних даних від точної лінійної залежності, у зв’язку з чим описуваний метод і одержав назву методу найменших квадратів. Вирішивши (8.5), знаходимо

(8.7)

Відповідно до висновків математичної статистики, для одержання незміщеної щодо точного значення оцінки дисперсії рішення, знайдене з (8.5), необхідно домножити на

(8.8)

Оцінимо тепер дисперсії параметрів. Перетворимо вирази для a:

, де .

Після перетворення видно, що a отримується як лінійна комбінація взаємно незалежних величин yj, тому що коефіцієнти kj задані точно – відповідно до пункту 1 припущень про статистику досліджуваних величин. Отже, параметр a розподілений нормально, а його дисперсія sa2являє собою лінійну комбінацію дисперсій величин yj з коефіцієнтами kj2 – ця властивість додавання нормальних розподілів уже зустрічалася при розгляді похибок непрямих вимірів.

. (8.9)