Тема: «Аналіз і інтерпретація результатів експерименту» (60 годин)

8. Оцінювання параметрів лінійної залежності

Одним з важливих методів сучасної фізики є модельний опис. Модель дозволяє одержати кількісну інформацію про досліджуваний об’єкт чи процес. Фізичні величини, що визначають результати експерименту, виступають у ролі перемінних і параметрів деякої функціональної залежності, теоретично одержуваної в рамках моделі. Після експериментальної реєстрації залежності її порівнюють з теоретичної. Шляхом порівняння можна не тільки чисельно визначити, тобто вимірити, значення фізичних величин, не вимірюваних іншим способом, але і вивести висновок про адекватність застосування моделі до експерименту.

Обробка експериментально отриманої залежності складається в проведенні по зареєстрованих крапках теоретичної кривої, розрахованої для заданого набору чисельних значень параметрів. Варіюючи параметри, домагаються найкращого збігу теоретичної кривої з експериментальними даними. Досягненню такого збігу допомагає обов’язкова вимога: теоретична крива повинна відбивати всі особливості поводження експериментальної залежності, а, тим більше, не давати приводу для сумнівів у збігу з нею. Отриманий набір параметрів розцінюють як результат їхнього одночасного виміру, виконаного на основі використовуваної моделі. В експерименті часто перевіряють лінійну залежність двох величин виду

Y = ax + b, (8.1)

Де X, Y – вимірювані величини, A, B – параметри залежності. Навіть якщо з модельного опису безпосередньо не виходить лінійна залежність величин, теоретичну залежність прагнуть перетворити до лінійного. Порозумівається це тим, що лінійна залежність виділена стосовно інших форм функціонального зв’язку двох величин. По-перше, у силу психологічних причин сприйняття людини має властивість розпізнавати прямі лінії, що як зустрічаються в повсякденному житті, так і побудовані у виді графіків. Візуально вдається досить точно відновити з графіка всю пряму, навіть у тій області, де інформація про неї частково відсутня. Це означає, що проведена «на око» пряма, що проходить по точках, що містить експериментальний розкид, виявляється дивно близької до оптимальної, побудованої за допомогою методів математичної статистики. Власне, можливості статистики стосовно до лінійної залежності визначає друга обставина її частого використання. Справа в тім, що параметри лінійної залежності і їх похибки можуть бути надійно оцінені на основі методу, що називається методом найменших квадратів. Нижче, крім цього методу, розглянуті варіанти графічної і простий статистичної (метод парних точок) обробки лінійної залежності.

8.1. Лінеаризація залежностей

У силу зазначених вище причин експериментатор повинен прагнути звести нелінійну залежність двох величин до лінійної, а потім обробити її щонайкраще. Як правило, багато хто функціонально складні залежності допускають перетворення координат, що приводить до шуканого результату. Приклади подібних перетворень поміщені в табл.8.1. У ній використані наступні позначення: V, U – перетворені функція і її аргумент, Y, X – нові функція й аргумент (після перетворення). По завершенні обробки даних, тобто після визначення середніх значень і похибок параметрів перетвореної залежності, отримані результати використовують для перерахування до первісних параметрів. Перерахування виконують за правилами, використовуваними для обробки результатів непрямих вимірів.

Таблиця 8.1 — Приклади лінеаризації залежностей

№ п/п	Вид нелінійної залежності	Одержувана лінійна залежність	Y	X	A	B
1	V=k uz	Ln v=z ln u + ln k	Ln v	Ln u	Z	Ln k
2	V=k ezu	Ln v=z u + ln k	Ln v	U	Z	Ln k
3	V= k ez/u	Ln v=z u-1 + ln k	Ln v	U-1	Z	Ln k
4	V=u/(k+zu)	V-1=k u-1 + z	V-1	U-1	K	Z

8.2. Визначення параметрів лінійної залежності з графіка

Після нанесення на графік експериментальних точок по них «на око» проводять пряму. Будують її таким чином, щоб точки в середньому однаково розташовувалися по обидві сторони від прямої. На рис.8.1 це пряма 1-2. На ній вибирають дві точки (1 і 2) максимально ввіддалені одна від одної.

Рис.8.1. Графічна обробка лінійної залежності.

Їхні координати x1, y1 і x2, y2 підставляють у (2.1) для одержання двох рівнянь з невідомими a і b:

Y1=ax1+b

Y2=ax2+b,

З яких знаходять:

, . (2.2)

Для оцінювання Da і D b будують дві додаткові прямі симетричні відносно прямої 1-2, так, щоб експериментальні точки, в основному, розташовувалися між ними. Якщо на графіку є точки, що відстоять від основної прямої 1-2 більш, ніж на потроєну середню відстань точок до прямої (це добре помітно уже при розгляданні графіка – на рис.8.1 і такою точкою є точка А), то їх відкидають і не використовують при побудові додаткових прямих. Відповідні виміри, швидше за все, містять промахи. Додаткові прямі визначають «коридор похибок» експерименту, усередині якого знаходиться досліджувана лінійна залежність. Граничні випадки ходу цієї залежності вийдуть, якщо провести прямі через протилежні кути «коридору» (прямі 4-5 і 6-7). Тим же способом, що і для основної прямої 1-2, знаходять параметри граничних прямих a1, b1 і a2, b2 . Оцінки похибок:

,. (2.3)

Може виявитися, що теоретичну залежність між вимірюваними величинами припускають лінійною, а експериментальні точки явно не лягають на пряму. Проведення по них прямої, як це зроблено на рис.8.2, не є правомірним. Розбіжність між теоретичною й експериментальною залежностями свідчить про наявність систематичних похибок, що повинні бути виявлені і враховані при обробці результатів. Інакше експериментатору залишається тільки констатувати розбіжність моделі з експериментом.

Рис.8.2. Приклад необґрунтованої інтерпретації експериментальної залежності як лінійної.

Часто лінійна залежність є приблизно справедливою в обмеженому інтервалі зміни фізичних величин. У такому випадку необхідно визначити границі застосовності лінійної залежності і вказати їх при аналізі результатів експерименту.

8.3. Метод парних точок

У деяких фізичних експериментах основний інтерес представляє тільки кутовий коефіцієнт (параметр а) залежності (8.1). Для оцінювання значення коефіцієнта і визначення його похибки зручним є метод парних точок. Він полягає в наступному.

Після нанесення на графік експериментальних точок з них вибирають пари, у яких точки відстоять одна від одної приблизно на однакову відстань. Бажано, щоб ця відстань була максимально можливою. Через кожну пару проводять пряму, а потім згідно з (8.2) обчислюють кутові коефіцієнти всіх прямих. З набору коефіцієнтів, що вийшов, за правилами обробки даних прямих вимірів визначають середнє значення коефіцієнта і його похибку. Його приймають за результат виміру шуканого параметра залежності (8.1).

Слід зазначити, що аналогічним чином у залежності (8.1) можна знайти вільний член (параметр b). По парах точок згідно (8.2) обчислюють вільні члени всіх отриманих прямих. Потім зазначеним вище способом розраховують середнє значення і похибку.

Розглянемо приклад конкретної обробки даних експерименту по вимірюванню опору R ділянки електричного кола. Обмірювані значення струму I і відповідні їм значення спаду напруги U наведені у табл.8.2.

Таблиця 8.2. Спад напруги у залежності від сили струму.

№ п/п	I, mА	U, В
1	13,2	11,07
2	16,9	19,09
3	25,3	28,94
4	44,3	36,03
5	46,1	46,88
6	62,7	57,31
7	70,0	67,59
8	81,1	76,91

Теоретичний опис досліджуваної залежності дає закон Ома U = R*І, де опір R є кутовим коефіцієнтом лінійної залежності, що проходить через початок координат. Значить, для його визначення можна скористатися методом парних точок. Нанесемо експериментальні точки на графік (рис.8.3) і пронумеруємо їх одна за одною від 1 до 8. Виберемо пари точок 1-5, 2-6, 3-7, 4-8 і занесемо їхні координати в табл.8.3, що використаємо для проведення необхідних обчислень.

Рис.8.3. Залежність спаду напруги від сили струму в ланцюзі.

Таблиця 8.3.Обробка даних методом парних точок.

Пари точок

,мА використання використовуються загальна