Іноді при обробці лінійної залежності необхідно знайти координату точки перетинання графіком осі x:

Відповідна дисперсія

.

Для практичних розрахунків методом найменших квадратів зручно використовувати видозмінені вирази, що отримуються при введенні наступних величин:

,

,.

У такому випадку:

,(8.11)
:

.

Вирази (8.11) зручні і для прямих розрахунків на калькуляторі, і для програмування обчислень при використанні комп’ютера. До речі, багато прикладних комп’ютерних програм містять метод найменших квадратів. Часто після введення експериментальних точок вони будують графік залежності і відразу автоматично обробляють її для визначення оцінок параметрів і їх похибок.

На закінчення цього розділу застосуємо вирази методу найменших квадратів (8.11) до обробки даних, що містяться в табл.8.2.

Одержимо:

=2,575·10-3
=2324
a=R=916
s2=15,1
sa2=3405
sa=sR=58
T(0,68; 7)=1,1 (див. розділ 9)
DR=58·1/1=64 Ом
R=(0,92±0,06)·103 Ом

При порівнянні результату методу парних точок і результату методу найменших квадратів можна зробити висновок про їх досить гарний збіг. Звичайно, мова йде тільки про порівняння в межах похибки результатів, що у методі найменших квадратів оцінена в півтора рази менше.

9. Статистичний аналіз результатів

Аналіз результатів експерименту за допомогою математичної статистики часто зводиться до перевірки справедливості припущень, чи Гіпотез , щодо досліджуваного фізичного явища й отриманих в експерименті даних. Наприклад, до перевірки припущення про збіг результатів вимірів однієї і тієї ж постійної фізичної величини, якщо виміри виконані двома незалежними дослідниками на різних установках. Кожний виміряв середнє і дисперсію: І – чи однакові результати? Відповідь на таке питання може бути дане тільки з визначеним ступенем імовірності, що враховує розподіл похибок результатів вимірів. Нижче буде показано, що один зі способів аналізу ґрунтується на понятті довірчої імовірності, уведеної при розгляді похибки прямого багаторазового виміру.

Гіпотезою, що підлягає перевірці, може стати правомірність застосування фізичної моделі, обраної для опису експерименту. Оскільки модель дозволяє теоретично передбачати вид функціонального зв’язку між вимірюваними величинами, то статистичний аналіз експериментальної залежності, проведений з урахуванням висновків моделі, подає інформацію про те чи достатньо справедливий модельний опис. Як і в попередньому випадку, висновок буде ґрунтуватися на імовірнісному підході, що містить у собі використання статистичних критеріїв, різних у випадках виконання і невиконання первісної гіпотези. У кожному випадку розраховують конкретну імовірність, що характеризує можливість реалізації отриманого набору експериментальних даних. Тому статистика, що оперує імовірнісними категоріями, не дає і не може дати однозначних відповідей.

9.1. Перевірка гіпотези про збіг експериментального середнього і відомого значення величини

Розглянемо набір результатів x1, x2,…..,xn багаторазового виміру нормально розподіленої величини x. З цих даних по формулах (3.2) і (4.2) отримані оцінки Та . Перевіряється гіпотеза про те, що =x0, де x0 – задане значення вимірюваної величини, точно відоме, наприклад, з розрахунків чи довідкових таблиць.

Уведемо нову величину, що містить як експериментальне середнє, так і задане значення:

(9.1)

Якщо рівність = x0 справедлива для , то розподіл величини t при кінцевій кількості вимірів n буде розподілом Стьюдента.

Форма цього розподілу показана на рис.9.1. Він симетричний щодо нуля і при збільшенні n переходить у нормальний розподіл з параметрами = 0 і st2=1. При малих n максимум розподілу Стьюдента нижчий максимуму нормального розподілу, а на крилах, тобто при віддаленні від центра, графік розподілу Стьюдента проходить вище.

Рис.9.1. Розподіл Стьюдента для різної кількості вимірів.

Які причини, що приводять до появи розподілу Стьюдента? Для відповіді на це питання уявимо експеримент, у якому проводять багаторазові виміри величини x, нормально розподіленої навколо нуля (=0) з точно відомою дисперсією s2.Послідовно виконаємо серії з n вимірів, у кожній з який результати (x1, x2,……,xn)j використовуємо для одержання І , де символ j позначає порядковий номер багаторазового виміру. Значення І , є експериментальними оцінками середнього і дисперсії, тому вони, як і сама випадкова величина x, піддані впливу випадкового фактора, що приводить до різних наборів даних, реалізованих у кожній серії результатів багаторазового виміру. Середнє Знаходять відповідно до виразу , воно являє собою суму нормально розподілених величин. Виходить, розподіл величин Також виявиться нормальним з дисперсією (відповідно до виразу (4.2)). Якщо розподіли x і Побудувати на одному графіку, то r(, n) виявиться вищим і дещо вужчим від розподілу r(x), що добре видно на рис.9.2.