Визначений інтеграл

3. Визначений інтеграл. Обчислення визначеного інтеграла.

Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії, до економічних розрахунків.

План:

1. Визначений інтеграл.

2. Обчислення визначеного інтеграла.

3. Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії, до економічних розрахунків.

§1. Задача про площу криволінійної трапеції. Означення визначеного інтеграла

інтеграл" title="Визначений інтеграл" align="left" class=""/>До поняття визначеного інтеграла приводять багато задач геометрії, фізики, природознавства, економіки, тощо.

Означення. Нехай функція неперервна і невід’ємна на відрізку [a; b]. Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком [a; b] і прямими , називається криволінійною трапецією.

Поняття криволінійної трапеції узагальнює поняття прямолінійної трапеції. Відрізки aA, bB можуть вироджуватися в точки. Рисунки показують, що багато фігур шкільного курсу геометрії є криволінійними трапеціями або їх комбінаціями.

Дамо означення нашому інтуїтивному уявленню про площу криволінійної трапеції. Для цього точками

Розіб’ємо довільно відрізок [a; b] на відрізки . На кожному відрізку розбиття довільно візьмемо по одній точці: І побудуємо прямокутники з основою і висотою . Смугу криволінійної трапеції з основою замінимо прямокутником з такою ж основою і висотою . В результаті отримаємо ступінчасту фігуру, складену з прямокутників. Очевидно, що чим менші відрізки (T) – розбиття, тим більше ступінчаста фігура наближається до криволінійної трапеції.

Число , де дає площу ступінчастої фігури, і його природно вважати наближеним значенням площі криволінійної трапеції. А за площу криволінійної трапеції природно прийняти границю чисел S(T), коли :

(1)

В курсі матичного аналізу доводиться, що для неперервної функції границя (1) завжди існує. До обчислення границь типу (1) приводить багато інших задач, наприклад, обчислення шляху прямолінійного руху за відомою швидкістю V(t) протягом часу від моменту до :

Тому границі виду (1) вивчають спеціально. Абстрагуючись від конкретного змісту функції , приходимо до такого означення.

Означення. Нехай функція задана на відрізку [a; b]. Точками довільно розіб’ємо відрізок [a;b] на частини . Позначимо . На кожномувідрізку довільно візьмемо по одній точці і утворимо суму

Якщо при існує границя сум S(T), яка не залежить від способу розбиття (T) і вибору точок , то цю границю називають визначеним інтегралом функції на відрізку [a; b] і позначають символом .

Таким чином, . (2)

Запис (2) на мові означає, що для довільного числа існує число таке, що для всіх (T) – розбиттів відрізка [a; b], у яких і для довільного вибору точок виконується нерівність

(3)

Суми S(T) називають інтегральними сумами функції , складеними для заданого (T) – розбиття відрізка [a; b] і взятого набору точок .

Із означень визначеного інтеграла і площі криволінійної трапеції випливає, що площа криволінійної трапеції виражається формулою

(4)

В цьому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла.

Аналогічно, довжина шляху прямолінійного руху обчислюється за формулою

(5)

Рівність (5) виражає механічний зміст визначеного інтеграла.

Визначений інтеграл називають також інтегралом Рімана (Г. Ріман (1826 – 1866) – німецький матик).

Має місце наступна теорема про існування визначеного інтеграла.

Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку [a; b], то її визначений інтеграл існує.

§2. Властивості визначеного інтеграла

Теорема. Якщо функції інтегровні за Ріманом на відрізку [a; b], то мають місце такі властивості:

1º. , де c – довільне дійсне число.

2º. .

3º. , для довільного .

4º. Якщо для довільного дійсного числа , то .

Зауважимо, що у властивості 1º на число c не накладається обмеження , як у невизначеному інтегралі, оскільки визначений інтеграл є число.

Властивість 4º означає, що нерівності можна інтегрувати. Аналогічної властивості для похідної немає. Так, з правильної нерівності для довільного числа не випливає, що , оскільки , а на інтервалі .

За означенням вважають, що для довільної функції і , якщо a>b.

Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку [a; b], то існує точка така, що .

Цю теорему приймемо без доведення. Її називають теоремою про середнє значення функції, оскільки число за означенням, називають середнім значенням функції на відрізку [a; b].

Геометрично теорема у випадку невід’ємної функції означає, що існує прямокутник з основою [a; b] і висотою f(c), площа якого дорівнює площі криволінійної трапеції.

§3. Обчислення визначеного інтеграла

3.1. Обчислення визначеного інтеграла за означенням

За означенням можна обчислювати найпростіші визначені інтеграли. Наприклад,

Оскільки є довжиною відрізка [a; b].

3.2. Формула Ньютона – Лейбніца

Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку [a; b], то

, (6)

Де F(x) – одна з первісних функції .

Формула (6) називається формулою Ньютона – Лейбніца.

За формулою (6) обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження первісної для підінтегральної функції. Проте нею слід користуватися обережно, спочатку переконавшись у неперервності функції . Формальне застосування формули (6) може привести до помилок.

Так, для інтеграла первісна підінтегральної функції дорівнює і , що суперечить властивості, оскільки і .

У наведеному “обчисленні” допущені дві помилки:

1) даний інтеграл не існує, оскільки підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1; 1];

2) підінтегральна функція розривна в точці , але і тому формулу (6) застосовувати не можна, оскільки не виконані умови теореми.

Різницю коротше позначають так .

Приклад. Обчислити .

Розв’язання. Використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, маємо:

3.3. Обчислення визначеного інтеграла частинами

Теорема. Якщо функції U=U(x)і V=V(x) неперервні на відрізку [a; b] разом із своїми похідними U'(x) і V'(x), то справедлива формула

(7)

Приклад 5.2. Обчислити .

Розв’язання. За формулою (7) маємо:

3.4. Обчислення визначеного інтеграла підстановкою

Теорема. Нехай функція неперервна на відрізку [a; b], функція неперервна разом з похідною на відрізку , причому , коли . Тоді

(8)

Зауважимо, що у формулі (8) не обов’язково повертатися до змінної x як це було у невизначеному інтегралі.

Приклад. Обчислити площу круга радіуса R.

Розв’язання. Оскільки круг симетричний відносно осей Ox і Oy, то досить обчислити площу чверті круга у першому квадранті. Маємо

Для обчислення цього інтеграла використаємо підстановку . Тоді при при та

Оскільки на відрізку . Тоді

§4. Геометричні застосування визначеного інтеграла

4.1. Обчислення площ плоских фігур у декартових координатах

Нехай плоска фігура D обмежена лініями , , де функції і – неперервні на відрізку [a; b], причому для кожного . тоді площу S цієї фігури можна обчислити за формулою

. (9)

Формула (9) очевидна для фігури D, розміщеної у верхній півплощині, оскільки в цьому випадку вона є різницею двох криволінійних трапецій. Можна показати, що вона справедлива і в загальному випадку. Якщо , то з формули (9) випливає формула для площі криволінійної трапеції.

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями та .

Розв’язання. Розв’язуємо систему рівнянь і знаходимо, що дані криві перетинаються в точках . Фігура D симетрична відносно початку координат, оскільки функції Та Непарні на відрізку . Тому за формулою (9) маємо

4.2. Обчислення об’ємів тіл за відомими площами паралельних перерізів

Нехай тіло (T) таке, що відомі площі S(x) його паралельних перерізів, причому функція S(x) неперервна на відрізку [a; b].

Тоді його об’єм V(T) можна обчислити за формулою

. (10)

Формулу (10) приймаємо без доведення. Якщо тіло (T) є тіло обертання навколо осі OX, то з формули (10) випливає, що

, (11)

Оскільки в цьому випадку , де f(x) – функція, що задає криву y=f(x), , від обертання якої навколо осі OX утворюється тіло обертання.

Приклад. Обчислити об’єм тіла, обмеженого еліпсоїдом .

Розв’язання. Використаємо рівняння еліпсоїда . Перетином еліпсоїда з площиною , де є еліпс , площа якого дорівнює , де , , тобто . отже, для довільного числа x, де , одержимо: