Первинна обробка даних – №6

= f(, , , …….) . (5.2)

Якщо точність прямих вимірів досить висока, тобто Dx<< даних" title="Первинна обробка даних" class=""/>, Dy<<, D z<< , … , то похибки результатів прямих вимірів переносяться на результат непрямого виміру як незалежні нормальні розподіли f навколо По кожному з аргументів функції (5.1). Строге обґрунтування цього твердження можна знайти в математичній статистиці. Похибка виміру f унаслідок малих випадкових варіацій

Тільки величини X: DFx=Fx’DX,

Тільки величини Y: DFy=fy’DY , (5.3)

Тільки величини Z: DFz=fz’DZ , і т. д.

Тут Fx’, fy’, fz’……. – похідні функції F(x, y,z,…)По відповідних змінних, що є частинними похідними і позначаються як

, , , ……

Аргументами в обчислених похідних (5.3) служать оцінки середніх значень , , …… .

Спільний розподіл f навколо, що враховує окремі розподіли по кожному з аргументів (5.1), повинен визначати похибку непрямого виміру Df. Ці розподіли нормальні і незалежні, тому дисперсія їх спільного розподілу дорівнює сумі їх дисперсій, що строго доведено в математичній статистиці. Тоді середнє квадратичне відхилення спільного розподілу, що обчислюється як корінь з дисперсії, варто знаходити з виразу:

(5.4)

Цей вираз має загальний характер і його можна використовувати для оцінювання похибки непрямого виміру, виконаного при будь-якому виді функції f(x, y,z,…).Однак варто твердо пам’ятати, що при безпосередніх розрахунках у (5.4) необхідно підставляти похибки Dx, Dy, Dz …, знайдені для того самого значення довірчої імовірності. Похибка непрямого виміру також буде відповідати цьому значенню довірчої імовірності. Рекомендується використовувати значення імовірності a = 0,68. Застосуємо (5.4) до деяких розповсюджених залежностей. Інтерес представляють ті випадки, коли за допомогою (5.4) удається установити функціональний зв’язок між похибками прямих вимірів і похибкою непрямого виміру. Таблиця 5.1 містить вирази, що задають такий зв’язок.

Таблиця 5.1- Зв’язок похибок прямих і непрямих вимірів.

У таблиці прийняті наступні позначення: D – для абсолютної похибки, d – для відносної похибки, A, B, C, a, b, g – постійні, x, y, z, j– результати прямих вимірів, f – результат непрямого виміру.

Як приклад до розглянутого матеріалу проведемо обробку результатів експерименту по виміру прискорення вільного падіння g. У ньому виконано багаторазовий прямий вимір часу падіння t сталевої кульки з висоти h (дванадцятий поверх висотного будинку), що також визначена багаторазовим прямим виміром (див. приклад попереднього розділу). Експериментальні результати:

T = (2,43±0,11) c, h =(28,85±0,20) м.

Робоча формула для визначення g має вигляд .

Згідно (5.2)

Оскільки похідні обчислюються як

, , то згідно з (5.4)

Щоб не виконувати обчислення похідних g’h і g’t, похибку Dg можна знайти за допомогою другого рядка табл.5.1, тому що робоча формула може бути записана у вигляді g=2ht-2 .

Тоді

Dg2=dh2+4dt2=(0,0069)2+4(0,0453)2=0,0083

Dg= 0,091,

Dg=gdg=9,77*0,091=0,89 м/с2 .

Після заокруглення остаточний результат непрямого виміру в стандартній формі:

G = (9,8 ± 0,9) м/с2 .

З аналізу похибок експерименту видно, що основний внесок у Dg дає Dt. Тому підвищення точності виміру прискорення вільного падіння можливе тільки після збільшення точності виміру часу падіння кульки.

6. Порядок дій при обчисленні остаточних результатів прямих і непрямих вимірів

Приводимо детальний звід операцій, виконуваних при обробці результатів вимірів різних типів. Зміст всіх описуваних дій детально розглянуто в попередніх розділах. Проведені розрахунки ґрунтуються на припущенні про нормальний розподіл похибок, коли систематичні похибки уже враховані на попередніх етапах роботи з експериментальними даними.