№ 3. Кінематика.
План
1. Кінематика – розділ теоретичної механіки
2. Кінематика точки
3. Визначення траєкторії, швидкості пройденого шляху по швидкості та прискоренню.
4. Види руху твердого тіла
5. Поступальний та крутний рух твердого тіла.
1. Конспект лекції.
Кінематика – це розділ механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл без обліку їхньої маси і діючих на них сил.
В кінематиці рухомі об’єкти
Механічний рух відбувається в просторі і в часі. У теоретичній механіці простір і час вважають абсолютними і незалежними друг від друга.
Тверде тіло стосовно якого за допомогою системи координат визначається положення інших тіл у різні моменти часу, називається системою відліку.
Різні точки тіла виконують різні рухи. Тому вивчення руху звичайно починається з так названої Кінематики точки, тобто з установлення кінематичних характеристик руху окремої матеріальної точки.
Рух усякого тіла складається із руху окремих його точок. Вміючи визначити рух окремої точки, ми зуміємо визначити і рух усього тіла. Крім цього, ми побачимо в подальшому, для розсуду про рух тіла в цілому в ряді випадків досить знати рух тільки його окремої точки.
В процесі свого руху точка послідовно займає різні положення відносно прийнятої системи відліку, при чому ці положення безперервно слідують одно за другим.
Траєкторія та шлях точки.
Геометричне положення точки, що рухається, у розглянутій системі відліку називається Траєкторією точки.
Якщо траєкторія – пряма лінія, рух точки називають Прямолінійним, якщо траєкторія – крива лінія, то рух точки називають Криволінійним.
Відстань, пройдена точкою за розглянутий проміжок часу, обмірюване уздовж траєкторії точки називають Шлях точки.
Задачі кінематики: у кінематиці розглядається дві основні задачі.
1) Матичний опис положення точки (тіла) у просторі в будь-який момент часу, або одержання закону руху точки (тіла).
2) Визначення кінематичних характеристик твердого тіла (швидкості, прискорення, траєкторії шляху по відомому закону руху).
Рис.1.
Розглянемо рух точки Р по траєкторії АВ. Якщо за час 
радіус-вектор 
, зміниться на 
, , то швидкість точки 
=
(
/ ), або
=
Якщо відстань виміряти в метрах (м) а час у секундах (с) то розмірність буде V= S / t=м/с
Швидкість точки є кінематична міра руху точки, рівна першої похідної за часом від радіуса-вектора цієї точки в розглянутій системі відліку.
|
|
Вектор швидкості 
прикладений у точці, що рухається, і спрямований по дотичній до траєкторії убік руху
Рис.2.
Прискорення точки.
Якщо за проміжок часу збільшення швидкості Р складе , то прискорення точки 
=( (
), або
= = 
розмірність м/с2
Прискорення точки є міра зміни швидкості точки, рівна похідної за часом від швидкості цієї точки в розглянутій системі відліку.
Є координатний спосіб завдання руху точки.
Тоді х = х(t), y = y(t), z = z(t).
А швидкість точки
V = 
Прискорення точки
a= = 
Є природний спосіб завдання руху точки.
Рис.3.
S=S(t) тобто положення т. Р вбудь-який момент часу t визначається дуговою координатою S.
Функцію S=S(t) припускають однозначної, безупинної і двічі деференційованої.
Прискорення точки.
Прискорення точки характеризує зміну швидкості по величині (
) і називається Дотичним прискоренням або тангенціальним і спрямовано завжди по одній прямій зі швидкістю точки, тобто по дотичній до траєкторії.
Прискорення що характеризує зміну швидкості по напрямку (аn) називається Нормальним або Прискоренням доцентровим і спрямовано по нормалі до траєкторії убік її увігнутості Нормаллю називають перпендикуляр до дотичної кривої в даній точці.
|
|
Рис.4.
Модуль прискорення.
А= 
; де дотичне прискорення = 
;
І нормальне прискорення аn=
де р – .радіус кривизни траєкторії руху точки.
Кут між прискореннями можна визначити з формули
Рівномірний рух точки: якщо V=const =0;
Рівняння рівномірного руху
=V=const чи ds=Vdt
Дугова координата має значення
S=So+Vt
Рівномірний рух.
Рух точки з постійним дотичним прискоренням називається рівномірним.
При t=0; S=S0 а швидкість V=V0; тому що = 
= const після інтегрування одержуємо
V=V0 + t
S=S0 + V0t + 
Рух по окружності.
У випадку коли т. Р рухається по окружності радіуса r з нерухомим центром О довжина дуги О1Р= S =r
Швидкість точки Р
V=
T
Дотичне прискорення точки одержуємо по формулі
= r= r 
Нормальне прискорення
an= ω2Ř
Повне прискорення точки
а = 
= R 
Із формул видно, що прискорення всіх точок твердого тіла при обертальному русі пропорційні відстаням від них до осі обертання..
Види руху.
У кінематиці розрізняють п’ять видів руху.
1. Поступальний, обертальний, плоскопаралельний або плоский. Рух навколо не рухомої вісі або Сферичний. Вільний рух.
Перші два види є основними, тому що інші можна звести до поступального і обертального руху.
Поступальний рух твердого тіла називають такий рух при якому будь-яка пряма в тілі увесь час залишається паралельної собі.
Наприклад: поршень – циліндр, парник паровозних коліс.
Обертальний рух – навколо нерухомої вісі – це такий рух, при якому залишаються нерухомими всі точки деякої прямої, називаною віссю обертання.
Усі точки тіла переміщаються по окружності з центром на вісі обертання й у площинах перпендикулярно до цієї вісі. Це вали, шківи, колеса, турбіни.
Кут називають Кутом повороту.
Кутове переміщення виміряється в радіанах (рад) або числом оборотів. Кількість оборотів позначається буквою N. За один оборот тіло повертається на 2π рад. то за N оборотів φ=2πN
Кутова швидкість і кутове прискорення
ω =
або ω =
= φ
Кутова швидкість тіла дорівнює похідній від кута повороту за часом. За одиницю в СИ прийнято рад/с.
Обертальний рух твердого тіла в будь-який момент часу характеризується:
Модулем кутової швидкості; напрямком обертання; положенням осі в просторі.
Якщо за момент часу швидкість одержала збільшення 
, тоді в момент часу t кутове прискорення тіла
=
або 
Кутове прискорення є міра зміни кутової швидкості тіла рівна похідної від кутової швидкості за часом. Одиниця виміру в СИ рад/с2
Швидкості і прискорення точок тіла.
Лінійна швидкість при обертальному русі дорівнює добутку кутової швидкості на відстань від точки до осі обертання. V= 
R
Вектор V спрямований по дотичній убік обертання.
– Доцентрове або нормальне прискорення тіла дорівнює квадрату кутової швидкості помноженому на радіус обертання цієї точки.
Дотичне прискорення або тангенціальне прискорення точки обертового тіла дорівнює добутку кутового прискорення на радіус обертання. Спрямовано перпендикулярно до радіуса обертання.
Повне прискорення 
його напрямок збігається з напрямком діагоналі прямокутника побудованого на векторах і 
прискорень.
Після підстановки в неї значень дотичного і нормального прискорень формула здобуває вид
= 
Складний рух точки.
Рух точки, досліджуваний одночасно в основній і рухливій сисх відліку, називається складним рухом точки.
Рух точки щодо рухливої системи відліку називається Відносним рухом точки.
Рух рухомої системи відліку щодо основної прийнято називати Переносним рухом.
Рух точки щодо основної системи відліку називається Абсолютним рухом точки.
Переносна швидкість і переносне прискорення точки – це швидкість і прискорення тієї незмінне зв’язаної з рухливою системою відліку точки простору, з яким у даний момент часу збігається точка, що рухається.
Vа
Vr
Vе
це рівняння виражає теорему про додавання швидкостей: абсолютна швидкість точки при складному русі дорівнює геометричній сумі переносної і відносної швидкостей.
Теорема Кориоліса: абсолютне прискорення точки при складному русі дорівнює геометричній сумі переносного, відносного і кориолісова прискорень.
)
Кориолісово прискорення точки при складному русі – складова її абсолютного прискорення, рівний подвоєному вектору добутку кутової швидкості переносного руху на відносну швидкість точки.
Модуль кориолісова прискорення
=
2. Рекомендована література:
Прикладная механика: Учебное пособие / А. Т.Скойбеда, А. А.Миклашевич, Е. Н.Левковский и др.; Под общ. ред. А. Т.Скойбеды. – Мн.: Выш. Шк., 1997 – 522с. Иосилевич Г. Б., Лебедев П. А., Стреляев В. С. Прикладная механика. – М.: Машиностроение, 1985 – 576с. С. А. Чернавський та ін. Курсове проектування деталей машин. – Машинобудування, 1987. – 146-152 с. Прикладная механика. К. И.Заблонский, М. С.Беляев, И. Я.Телис и др. – Киев: Вища школа, 1984 – 280с. Гузенков П. Г. Детали машин.-М.: Высшая школа, 1986 – 359с. Дунаев П. Ф., Леликов О. П. Конструирование узлов и деталей машин.-М.: Высшая школа, 1985 – 416с. Иванов М. Н. Детали машин.-М.: Высшая школа, 1984 – 336с. В. Т. Павлище, Є. В. Харченко та ін. Прикладна механіка. – Львів: Інтелект-захід, 2004 –
366 с.
Ви прочитали: "Кінематика."Читати далі