Елементи лінійноі, векторноі алгебри

Модуль I.  Елементи лінійної, векторної алгебри та аналітичної гнометрії

· Матриці та операції над ними.  Визначник матриці.

– Обернена матриця.

Нехай A – квадратна матриця. Матриця A-1 називається оберненою до матриці A, якщо виконується умова

AA-1=A-1A=E.

Квадратна матриця A називається виродженою, якщо   і невиродженою,  якщо alt="Елементи лінійноі, векторноі алгебри" title="Елементи лінійноі, векторноі алгебри" class=""/>.

Теорема. Квадратна матриця A має обернену матрицю тоді і тільки тоді, коли вона невироджена. обернена матриця для даної невиродженої матриці єдина.

Доведення. Необхідність. Нехай для матриці A існує обернена матриця A-1. Тоді AA-1=E, . Отже,  і матриця A  невироджена.

Достатність. Нехай  і . Покажемо, що оберненою до матриці A буде матриця , де  – алгебраїчне доповнення елемента  визначника матриці A. Справді, за правилом множення матриць та властивостями 8°, 9° визначників маємо

.

Покажемо, що іншої матриці, яка була б оберненою до матриці A,  не існує. Нехай . Тоді . Теорему доведено.

Приклад. Знайти A-1, якщо .

Розв’язання. Обчислимо визначник матриці A та алгебраїчні доповнення всіх її елементів. Маємо:

;

Записуємо обернену матрицю

.

Перейдемо до розгляду поняття рангу матриці. Нехай A=Am×n. Виділимо в матриці A будь-які k рядків і k  стовпців, де k не більше кожного з чисел m і n.

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k – го порядку матриці A.

– Ранг матриці.

Означення. Рангом матриці A називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Ранг матриці A позначається  і має такі властивості:

1°. 

2°.  , тоді і тільки тоді, коли  A=О.

3°. для квадратної матриці n – го порядку  тоді і тільки тоді, коли матриця A  невироджена.

Обчислення рангу матриці за означенням громіздке. Тому на практиці застосовують метод елементарних перетворень матриці. До таких перетворень відносять:

1) перестановку місцями будь-яких двох рядків або стовпців матриці;

2) множення будь-якого рядка або стовпця матриці на число, відмінне від нуля;

  3) додавання до елементів деякого рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на одне і те ж число.

Виявляється, що при елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється. Тому матрицю за допомогою цих перетворень зводять до такого вигляду, коли стає очевидним значення її рангу.

Приклад. Знайти ранг матриці .

Розв’язання. Виконуючи елементарні перетворення матриці, одержимо:

~~~

Пояснимо виконані перетворення. Знак “~” між матрицями вказує, що вони отримані одна з одної елементарними перетвореннями. На першому кроці помножили перший рядок відповідно на –3, –3, –5  і додали по черзі до другого, третього і четвертого рядка. На другому кроці перший стовпець помножили на 3, 3, 2, 5 і додали відповідно до інших стовпців, а потім перший стовпець помножили на (-1); після цього другий рядок помножили на –2 і додали до третього і четвертого. На останньому кроці другий стовпець помножили на , потім його помножили на 7, 3, 11 і додали до третього, четвертого і п’ятого стовпців та останній рядок помножили на . Одержана матриця має ранг 3. Отже, .  

· Сумісність та визначеність систем лінійних рівнянь.

· Розклад вектора за базисом. Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів.

Аналітична  геометрії.

Паралельність та перпендикулярність прямих і площин на площині і в просторі. Полярна сис координат.

Найважливішою після прямокутної декартової системи координат є полярна сис координат. Вона задається точкою O, яка називається полюсом і одиничним вектором , що виходить з цієї точки. Промінь, що виходить з точки O і співнапрямлений з вектором  називається полярною віссю.

Візьмемо довільну точку M на площині і побудуємо вектор . Положення точки M повністю визначається кутом  між полярною віссю та вектором  і довжиною  вектора .

Числа Називаються полярними координатами точки M.

При цьому  називають полярним радіусом точки M, а   – полярним кутом цієї точки. Точка M  з полярними координатами  і  позначається так: .

Зауважимо, що початок полярної системи координат  (точка O) має полярний радіус, що дорівнює 0, а полярний кут для нього невизначений. В цілому ж, полярний радіус  змінюється в межах , а полярний кут  в межах . Іноді розглядають кути в межах .

Між декартовими і полярними координатами точки на площині існує певний зв’язок.

Нехай початок прямокутної системи координат збігається з полюсом, а вісь Ox – з полярною віссю Ox. Тоді  з геометричних міркувань маємо:

     .     (3)

Звідси

     .     (4)

Зауважимо, що кут  має два значення, оскільки він змінюється від 0 до . Тому вибирають те значення , що задовольняє рівності (3).

Формули (3) називають формулами переходу від полярних до декартових координат, а формули (4) – формулами переходу від декартових координат до полярних.

Приклад. Побудувати точку A в полярній системі координат, якщо  та знайти її декартові координати.

Розв’язання. Знаходимо декартові координати точки A:

Отже, .

Фокальні властивості кривих другого порядку.

Ексцентриситетом  еліпса називають відношення відстані між його фокусами до довжини його великої осі: .     (5)

При цьому , отже .

Через ексцентриситет еліпса можна виразити відношення його півосей:

.

Звідси, при збільшенні  до одиниці, відношення півосей еліпса  зменшується, отже еліпс став дедалі більш розтягнутим вздовж осі .

Директрисами еліпса називають дві прямі перпендикулярні до фокальної осі еліпса і розміщені симетрично відносно центра еліпса на відстані  від нього.

Директриси еліпса   мають рівняння  . Ці прямі еліпс не перетинають, оскільки , а .

Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки від відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса, тобто

     .   

Ексцентриситетом гіперболи називають відношення відстані між її фокусами до довжини її дійсної вісі:      ,     (6)

Де .

Через ексцентриситет гіперболи можна виразити відношення уявної півосі до дійсної:

.

Ексцентриситет гіперболи характеризує її форму. Справді, для гіперболи . Чим менше , тим менше відношення , тим менший кут, який утворює асимптота з віссю , тобто тим повільніше відхиляється гіпербола від осі .

Директрисами гіперболи називають прямі, які перпендикулярні до дійсної осі гіперболи і знаходяться на відстані  від початку координат.

Рівняннями директрис гіперболи  є , а гіперболи  – . Директриси гіперболи не перетинаються.

Відношення довжини фокальних радіусів кожної точки гіперболи до відстаней цієї самої точки від відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету гіперболи, тобто

Ви прочитали: "Елементи лінійноі, векторноі алгебри"
Читати далі