Диференціальне числення функцій однієі змінноі

Модуль II. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Диференціальне числення функцій багатьох змінних.

Основні елементарні функції шкільного курсу матики, їх властивості і графіки.

Функцією називається відповідність, при якій кожному елементу x  із множини D відповідає деякий елемент y із множини E. Незалежна змінна x називається аргументом, а величина y – функцією. При цьому множину  D називають областю визначення функції alt="Диференціальне числення функцій однієі змінноі" title="Диференціальне числення функцій однієі змінноі" class=""/>, а множину E –областю значень функції.

Графіком функції  у вибраній системі координат називається множина всіх тих і тільки тих точок , для яких виконується рівність .

Загальні властивості функцій:

1.Якщо область визначення функції  симетрична відносно початку координат і  виконується рівність , функція називається парною. Приклади парних функцій: . Графіком парної функції є лінія, симетрична відносно осі ординат (осі Oy).

2.Якщо область визначення функції  симетрична відносно початку координат і  виконується рівність , функція називається непарною. Приклади непарних функцій: . Графіком парної функції є лінія, симетрична відносно початку координат.

3.Нехай задано числові функції  та  такі, що . Розглянемо функцію , яка будь-якому значенню  ставить у відповідність число . Така функція називається складеною і позначається: , де  називають внутрішньою,  – зовнішньою функцією.

Деякі види функцій:

1. Постійна та лінійна функції.

Постійною називається функція , де – константа, деяке дійсне число. Область визначення . Функція парна. Множина значень складається з одного числа . Графіком є горизонтальна пряма  (паралельна осі Оx), що проходить через точку .

Функція  називається прямою пропорційністю. Область визначення . Функція непарна. Графіком є пряма, що проходить через початок координат і утворює з додатним напрямком осі Ox кут : , k – кутовий коефіцієнт прямої. Якщо k>0,  то функція зростає на всій області визначення, якщо k<0,  то функція спадає на всій області визначення.

Функція  називається лінійною. Графіком лінійної функції є деяка пряма. Для побудови цієї прямої в системі координат x Oy  достатньо побудувати дві її довільні точки. Область визначення .

Функція не є ні парною, ні непарною (такі функції називають несиметричними, або функціями загального виду).

2. Квадратична функція.

Функція виду  , де – фіксовані числа (константи), причому , називається квадратичною. Область визначення . Графіком квадратичної функції є парабола. Абсциса вершини параболи знаходиться за формулою . Якщо , то вітки параболи напрямлені вгору, якщо , то вітки параболи напрямлені вниз.

3. Степенева функція.

Степеневою називається функція виду  , де – фіксоване дійсне число, відмінне від нуля. Область визначення .

Якщо  – натуральне парне число, то всі властивості степеневої функції співпадають з властивостями функції .

Якщо  – натуральне непарне число, то всі властивості степеневої функції співпадають з властивостями функції .

На практиці часто зустрічається степенева функція .

  4.  Дробово-лінійна функція.

Функція , де  називається оберненою пропорційністю. Графіком оберненої пропорційності є гіпербола. Область визначення . Функція непарна.

Якщо , то графік функції розміщений в I та III квадрантах ( при ,  при ); функція спадає на кожному з проміжків .

Якщо , то графік функції розміщений в II та IV квадрантах ( при ,  при ); функція зростає на кожному з проміжків .

Графік функції має дві асимптоти: вертикальну – вісь Oy  і горизонтальну  – вісь Ox.

Дробово-лінійною називається функція виду . Її графіком є гіпербола, яка одержується з графіка оберненої пропорційності шляхом паралельного зсуву на вектор . Ця гіпербола має вертикальну асимптоту  та горизонтальну –. Вершиною параболи є точка .

Границя функції на нескінченності. Односторонні границі функції. Нескінченні границі. Асимптоти кривої.

– Границя функції на нескінченності

Досліджуючи функції, які визначені на нескінченних проміжках, доводиться вивчати поведінку цих функцій при як завгодно великих за модулем значеннях аргументу x, тобто при  або . Пояснимо вище зазначене на конкретному прикладі.

Дослідимо поведінку функції  при необмеженому зростанні x. В цьому випадку кажуть, що . Бачимо, що значення  будуть залишатися додатними і необмежено зменшуватись, наближаючись до нуля. Іншими словами, при  функція  прямує до нуля, тобто . Число нуль називають границею функції  на .

Означення. Нехай функція f(x) визначена на проміжку . Число  називається границею функції f(x) при , якщо для довільного дійсного числа  існує таке дійсне число , що для всіх чисел  виконується нерівність .

За допомогою логічної символіки означення можна записати так:

.

Аналогічно, для функції y=f(x), визначеної на проміжку :

.

Геометрично означення фіксує той  факт, що графік функції y=f(x) для всіх достатньо великих x як завгодно близько підходить до прямої  y=A і знаходиться для чисел  у смузі . У цьому випадку кажуть, що пряма y=A є горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x).

Графік функції y=f(x) може мати і похилі асимптоти y=kx+b, .

Означення. Нехай функція y=f(x) визначена на проміжку . Пряма y=kx+b називається асимптотою графіка функції y=f(x) при , якщо

.

Рівність в означенні означає, що віддаль точки Від прямої y=kx+b прямує до нуля при  .

Аналогічно визначається асимптота графіка функції y=f(x), визначеної на проміжку  при .

Теорема (про похилі асимптоти кривої). Нехай функція y=f(x) визначена на проміжку . Для того, щоб пряма y=kx+b була асимптотою графіка цієї функції, необхідно й достатньо існування границь

  та  .

Приклад. знайти похилі асимптоти графіка функції .

Розв’язання.  Задана функція визначена на проміжках  та . Обчислимо для неї вказані границі:

.

Отже, пряма  є асимптотою графіка функції  при .

– Нескінченні границі

Приклад функції  показує, що дріб  при наближенні x до нуля справа необмежено зростає, а при наближенні x до нуля зліва необмежено спадає. В цьому випадку кажуть, відповідно, що  і .

Означення. Нехай функція y=f(x) визначена у деякому проколотому околі точки . Кажуть, що , якщо для довільного числа  існує таке число , що для всіх чисел  виконується нерівність .

Геометрично це означає, що графік функції  при необмеженому наближенні х до Справа необмежено піднімається вгору.

Аналогічно визначаються

,  .

Пряма  в цьому випадку називається вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x).

Приклад. знайти вертикальні асимптоти графіка функції .

Розв’язання. Помічаємо, що при  знаменник дробу прямує до 0, а чисельник до 4, причому

.

Тому пряма  є вертикальною асимптотою графіка функції .

Диференціал функції, його геометричний зміст, інваріантність форми диференціала.

Опуклість, угнутість кривої, точки перегину; достатня ознака опуклості, угнутості кривої.

Диференційовані функції кількох змінних. Диференціювання складених функцій.

Неявні функції однієї і двох змінних

Одним із способів задання функції  є задання її рівнянням . Розглянемо, наприклад, рівняння  і з’ясуємо, які функції  його задовольняють.

Очевидно, функції  задовольняють дане рівняння. Їх називають неявними функціями, визначеними рівнянням . Крім цих функцій існує безліч інших функцій, які задовольняють це рівняння. Наприклад, якщо зафіксувати непорожню множину E дійсних чисел, відмінну від R, то функція

також задовольняє рівняння .

Рівняння , очевидно, не задовольняє жодна дійсна функція . Рівняння  задовольняє на множині R дійсних чисел єдина функція .

Означення. Функція , яка перетворює рівняння  у тотожність, називається неявною функцією, визначеною цим рівнянням.

Зауваження. Термін “неявна функція” характеризує не природу функції, а аналітичний спосіб її задання.

Наступна теорема дає достатні умови існування, неперервності і диференційовності неявної функції.

Теорема. Нехай задано рівняння , де функція  неперервна разом із частинними похідними  і  у деякому околі точки , причому , а . Тоді це рівняння визначає у деякому околі точки  єдину неперервну разом із похідною функцію  таку, що , а

  , де .  (1)

Теорему приймаємо без доведення. Геометрично вона означає, що поверхня, задана рівнянням , у деякому околі точки , перетинає координатну площину  (тобто площину XOY) по деякій кривій, яка і є графіком неявної функції .

З рівняння дотичної до кривої  у точці , де ,

І формули (1) випливає рівняння дотичної в точці  до кривої, заданої рівнянням

,  (2)

Яке записують в симетричному вигляді так:

  (3)

Рівняння нормалі в точці  до кривої, заданої рівнянням , має вигляд

  (4)

Одним із способів задання функції двох змінних  є задання її рівнянням . Наприклад, рівняння  задає в крузі  функцію , а рівняння  не задає ніякої дійсної функції . Існує теорема, аналогічна теоремі 6.3, яка дає достатні умови існування, неперервності і диференційовності неявної функції , визначеної рівнянням .

Рівняння  при певних умовах задає деяку поверхню . Будемо вважати, що функція  диференційовна в деякому околі точки , яка лежить на поверхні . Проведемо через точку  на поверхні  довільну криву L і дотичну до неї у точці  (рис).

 Нехай параметричні рівняння кривої L: , а координати точки : .

, оскільки крива L лежить на поверхні . Тому за правилом диференціювання складної функції маємо

      (5)

Рівність (5) є скалярним добутком векторів  і . Але вектор  – це вектор дотичної до кривої L у точці . Тому з рівності (5) випливає, що дотична до кожної кривої на поверхні , яка проходить через точку , перпендикулярна до вектора , тобто всі такі дотичні лежать в одній площині, яка проходить через точку  і перпендикулярна до вектора . Цю площину називають дотичною до поверхні  у точці . Її рівняння має вигляд

      (6)

Зокрема, якщо поверхня  задана рівнянням , то з рівняння (6) одержимо рівняння дотичної площини до поверхні  у вигляді

     (7)

З рівняння (7) випливає геометричний зміст диференціала функції . Права частина рівності (7) є диференціалом функції  обчисленим у точці . У лівій частині рівності маємо різницю , що є приростом аплікати  дотичної площини до поверхні  у точці .

Таким чином, диференціал функції  у точці  дорівнює приросту аплікати  дотичної площини до поверхні, заданої рівнянням  у точці .

З рівнянь (6) і (7) отримуємо відповідні рівняння нормалі до поверхні:

  (8)

 (9)

Формула Тейлора для функції двох змінних

Як і для функції однієї змінної, для функції  багатьох змінних має місце формула Тейлора, яка в диференціальній формі записується так:

  (10)

Де запис  означає приріст функції  у точці , тобто різницю , а точка  лежить на відрізку .

Зокрема для функції  двох змінних, яка має у деякому околі точки  неперервні частинні похідні до  – го порядку включно, приріст

  (11)

Де точка  лежить між точками  і  на відрізку . Формулу (11) приймаємо без доведення.

При  рівність (11) приймає вигляд

  (12)

Звідки

,  (13)

Де максимум береться в околі точки  радіуса . Нерівність (13) дає оцінку точності наближеної формули .

Формула Тейлора (11) використовується при встановленні достатніх умов екстремуму функції двох змінних. Зауважимо, що через частинні похідні ця формула має більш громіздкий запис:

  (14)

Ви прочитали: "Диференціальне числення функцій однієі змінноі"
Читати далі